東京工業大学 工学院 電気電子系 2019年8月実施 数学2
Author
祭音Myyura
Description
不定積分と微分方程式に関する以下の問に答えよ。ただし，問 (2) (\(c\)), (d) の解答は導出過程も含めて記述すること。
(1) 次の不定積分を求めよ。答のみを示せ。
- (a) \(\int\frac{1}{x^2 + 4}dx\)
- (b) \(\int\frac{4x}{x^2 + 1}dx\)
(2) 式 \((2.1)\) で表される微分方程式がある。ただし，\(y\) は \(x\) の関数とし，\(x \neq 0\) とする。また，\(\log x\) は \(x\) の自然対数を表す。このとき，以下の問に答えよ。
\[
\begin{align}
\frac{dy}{dx} = \frac{3x + 2y - 4}{2x - 3y + 6} \tag{2.1}
\end{align}
\]
- (a) 定数 \(a,b\) を用いて \(x,y\) を \(k = x - a,m = y - b\) と書き直すと，式 \((2.1)\) の左辺は式 \((2.2)\) のように定数項を含まない形で表すことができた。このとき，\(a,b\) を求めよ。
\[
\begin{align}
\frac{dm}{dk} = \frac{3k + 2m}{2k - 3m} \tag{2.2}
\end{align}
\]
-
(b) 式 \((2.2)\) の左辺について，\(u = m/k(k > 0)\) と置いて変形すると，\(dm/dk\) は \(u\) と \(k\) の関数となる。このとき，\(dm/dk\) を \(du/dk,u,k\) を用いて表せ。
-
(\(c\)) 式 \((2.2)\) の右辺についても前問 (b) と同様に \(u = m/k(k > 0)\) と置いて変形すると，式 \((2.2)\) は \(du/dk = E/D\) の関係式で表すことができる。ただし，\(D\) は \(u\) のみの関数であり，\(E = 3/k\) とする。このとき，\(D\) を表せ。
-
(d) 前問 (\(c\)) の関係式より式 \((2.2)\) の一般解を求めると，\(F - 3\log k + C = 0 \ (C\text{ は任意定数})\) を得る。関数 \(F\) を \(u\) を用いて表せ。ただし，微分や積分を含まずに表すこと。
-
(e) \(x = 1\) において \(y = 2\) とし，前問 (d) より式
\((2.1)\)の特殊解を求めると， \(4\tan^{-1}G - 3\log H = 0\) を得る。関数 \(G\) と関数 \(H\) を \(x\) と \(y\) を用いて表せ。ただし，微分や積分を含まずに表すこと。
Kai
(1)
(a)
\(x = 2\tan\theta\) とおくと、
\[
\begin{aligned}
\int \frac{1}{x^2 + 4}dx &= \int \frac{1}{4(1 + \tan^2\theta)} \cdot \frac{2}{\cos^2\theta}d\theta \\
&= \frac{1}{2}\tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \quad (C \text{ is constant})
\end{aligned}
\]
(b)
\[
\int\frac{4x}{x^2 + 1}dx = \int\frac{2(x^2 + 1)'}{x^2 + 1}dx = 2\log(x^2 + 1) + C \quad (C \text{ is constant})
\]
(2)
(a)
\[
\left \{
\begin{aligned}
3x + 2y - 4 &= 0 \\
2x - 3y + 6 &= 0 \\
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\left \{
\begin{aligned}
&x = 0 \\
&y = 2 \\
\end{aligned}
\right.
\]
\[
\begin{aligned}
x = k + 0 &\Leftrightarrow k = x + 0 \\
y = m + 2 &\Leftrightarrow m = y - 2 \\
\end{aligned}
\]
従って、
\[
a = 0 , b = 2
\]
(b)
\[
\frac{dm}{dk} = \frac{3 + 2\frac{m}{k}}{2 - 3\frac{m}{k}}
\]
\[
u = \frac{m}{k} \Rightarrow m = uk
\]
\[
\frac{dm}{dk} = u + \frac{du}{dk}k
\]
(\(c\))
\[
(u + \frac{du}{dk}k) = \frac{3 + 2u}{2 - 3u}
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{du}{dk}k &= \frac{3 + 2u}{2 - 3u} - u \\
\frac{du}{dk}k &= \frac{3 + 2u - u(2 - 3u)}{2 - 3u} \\
\frac{du}{dk}k &= \frac{3 + 3u^2}{2 - 3u} \\
\frac{du}{dk}k &= 3\frac{1 + u^2}{2 - 3u} \\
\frac{du}{dk} &= \frac{3}{k} \cdot \frac{1 + u^2}{2 - 3u} \\
\frac{du}{dk} &= \frac{3}{k}\bigg/\frac{2 - 3u}{1 + u^2} \\
\frac{du}{dk} &= E/D
\end{aligned}
\]
従って、
\[
D = \frac{2 - 3u}{1 + u^2}
\]
(d)
\[
\frac{du}{dk} = \frac{E}{D}
\]
\[
Ddu = Edk
\]
\[
\int\frac{2 - 3u}{1 + u^2}du = \int\frac{3}{k}dk
\]
\[
\int\frac{2}{1 + u^2}du - \frac{3}{2}\int\frac{2u}{1 + u^2}du = 3\log|k| + A
\]
\[
2\tan^{-1}u - \frac{3}{2}\log(1 + u^2) = 3\log|k| + A
\]
\[
2\tan^{-1}u - \frac{3}{2}\log(1 + u^2) = 3\log|k| + C = 0
\]
\[
(A,C \text{ are constants})
\]
従って、
\[
F = 2\tan^{-1}u - \frac{3}{2}\log(1 + u^2)
\]
(e)
\[
x = k = 1,u = \frac{m}{k} = \frac{y^{-2}}{1} = 0
\]
\[
\begin{aligned}
2\tan^{-1}u - \frac{3}{2}\log(1 + u^2) - 3\log k &= 0 \\
4\tan^{-1}u - 3\log(1 + u^2) - 6\log k &= 0 \\
4\tan^{-1}(\frac{y - 2}{x}) - 3\log\big[1 + (\frac{y - 2}{x})^2\big] - 3\log x^2 & = 0 \\
4\tan^{-1}(\frac{y - 2}{x}) - 2\log \big(x^2 + (y - 2)^2\big) &= 0
\end{aligned}
\]
従って、
\[
G = \frac{y - 2}{x},H = x^2 + (y - 2)^2
\]