東京工業大学 工学院 電気電子系 2019年8月実施 数学1
Author
祭音Myyura
Description
絶対積分可能な実関数 \(f(t)(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty)\) に対してフーリエ変換 \(F(\omega)\) が
\[
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt
\]
と定義される。ただし，\(j^2 = -1\) である。以下の問に答えよ。なお，答えには \(F(\omega)\), もしくは \(F(\omega)\) の \(\omega\) を適宜変更した関数を含めてよい。
(1) \(R(\omega),X(\omega),\psi(\omega)\) を実関数として，\(F(\omega) = R(\omega) + jX(\omega) = |F(\omega)|e^{-j\psi(\omega)}\) と書いたとき，\(F(-\omega)\) は \(F(\omega)\) の複素共役に等しい。
下記の \(\boxed{1} \sim \boxed{4}\) に「偶関数」「奇関数」「いずれでもない」のどれか \(1\) つを入れよ。
\[
R(\omega) \text{は} \boxed{1},\quad X(\omega) \text{は} \boxed{2}, \quad |F(\omega)| \text{は} \boxed{3}, \quad \psi(\omega) \text{は} \boxed{4}
\]
(2) \(f(at)\) のフーリエ変換を求めよ。なお，\(a\) は正の実数である。
(3) \(f(t - t_0)\) のフーリエ変換を求めよ。ただし，\(t_0\) は正の実数である。
(4) \(f(t)\) の微分 \(f'(t)\) のフーリエ変換を求めよ。導出過程も書くこと。
(5) \(f(t)e^{-j\omega_0t}\) のフーリエ変換を求めよ。\(\omega_0\) は正の実数である。
(6) \(f(t)\cos(\omega_0t)\) のフーリエ変換を求めよ。導出過程も書くこと。
(7) \(f(t)\) を実関数として，\(g(t) = f(t)\cos(\omega_0 t)\) のフーリエ変換の絶対値 \(|G(\omega)|\) の概形を \(\omega \ge 0\) について描け。なお，\(f(t)\) のフーリエ変換の絶対値 \(|F(\omega)|\) は \(\omega \ge 0\) について図 \(1.1\)のとおりであり，図中の \(\omega_1,\omega_2\) はいずれも正の実数で \(\omega_0\) よりも十分小さいとする。
Kai
(1)
\(\boxed{1}\) 偶関数, \(\boxed{2}\) 奇関数, \(\boxed{3}\) 偶関数, \(\boxed{4}\) 奇関数
(2)
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} f(at)e^{-j\omega t}dt &= \int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j\omega \frac{u}{a}}\frac{du}{a} \\
&= \frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j(\frac{\omega}{a})u}du \\
&= \frac{1}{a}F(\frac{\omega}{a})
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{\infty}f(t - t_0)e^{-j\omega t}dt \\
=& \int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j\omega(u + t_0)}du \\
=& e^{-j\omega t_0}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j\omega u}du \\
=& e^{-j\omega t_0}F(\omega)
\end{aligned}
\]
(4)
\[
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{-j\omega t}dt \\
=& \bigg[f(t)e^{-j\omega t}\bigg]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}f(t)(-j\omega)e^{-j\omega t}dt \\
=& j\omega \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \\
=& j\omega F(\omega)
\end{aligned}
\]
(5)
\[
\begin{aligned}
&\int_{\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega_0 t}e^{-j\omega t}dt \\
=& \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j(\omega_0 + \omega)t}dt \\
=& F(\omega_0 + \omega)
\end{aligned}
\]
(6)
\[
\begin{aligned}
f(t)\cos(\omega_0t) &= f(t) \cdot \frac{e^{j\omega_0t + e^{-j\omega_0 t}}}{2} \\
&= \frac{1}{2}f(t)e^{j\omega_0 t} + \frac{1}{2}f(t)e^{-j\omega_0 t}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}f(t)e^{j\omega_0 t}e^{-j\omega t}dt \\
=& \frac{1}{2}\int_{\infty}^{\infty}f(t)e^{-j(\omega - \omega_0)t}dt \\
=& \frac{1}{2}F(\omega - \omega_0)
\end{aligned}
\]
また、(5) より、
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}f(t)e^{-j\omega_0 t}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{2}F(\omega + \omega_0)
\]
従って、
\[
\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(\omega_0 t)e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{2}\big[F(\omega - \omega_0) + F(\omega + \omega_0)\big]\]
(7)
\(F(\omega)\) の振幅を \(\frac{1}{2}\) 倍し、\(\omega_0\) だけ平行移動した波形となる。
