東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年度 数学 3
Author
Zero, 祭音Myyura
Description
以下の (1), (2) に解答せよ。
ただし, 複素数 \(z = x + jy\) とし, \(x,y\) は実数, \(j\) は虚数単位とする。解答は導出過程も含めて示せ。
(1) 下記の (i) (ii) の複素関数 \(f(z)\) および \(g(z)\) がそれぞれ \(z\) によらず正則となるような実数の定数 \(a,b,c,d\) を求め, \(f(z)\) および \(g(z)\) を示せ。
(i) \(f(z) = x^2 + \sqrt{2}a y^2 + j(\sqrt{3} + b)xy\)
(ii) \(g(z) = \exp\{cxy - j(\sqrt{5}x^2 + dy^2)\}\)
(2) 複素関数
\[
h(z) = 2 + \frac{2z}{z - 2}
\]
について以下に答えよ。
(a) 特異点を求めよ。
(b) 留数を求めよ。
(\(c\)) 積分路 \(C_1\) を複素平面上の中心 \(0\) 半径 \(1\) の円を反時計回り一周するようにとったとき, 下記の複素積分を計算せよ。
\[
\int_{C_1}h(z)\text{d}z
\]
(d) 積分路 \(C_2\) を複素平面上の中心 \(2\) 半径 \(1\) の円を反時計回り一周するようにとったとき, 下記の複素積分を計算せよ。
\[
\int_{C_2}h(z)\text{d}z
\]
Kai
(1)
(i)
\[
\begin{aligned}
f(z) &= x^2 + \sqrt{2}a y^2 + j(\sqrt{3} + b)xy \\
&= u + jv
\end{aligned}
\]
\(CR\) 方程式が成立すれば良い。
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \frac{\partial v}{\partial y} = (\sqrt{3} + b)x
\]
\[
\frac{\partial v}{\partial x} = (\sqrt{3} + b)y , \frac{\partial u}{\partial y} = 2\sqrt{2}ay
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} &\Leftrightarrow 2x = (\sqrt{3} + b)x \\
&\Leftrightarrow 2 = \sqrt{3} + b \\
&\therefore b = 2 - \sqrt{3}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
-\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} &\Leftrightarrow -(\sqrt{3} + b)y = 2\sqrt{2}ay \\
&\Leftrightarrow -(\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2}a \\
&\Leftrightarrow -2 = 2\sqrt{2}a \\
&\therefore a = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\therefore f(z) &= x^2 + \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2})y^2 + j(\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3})xy \\
&= (x^2 - y^2) + j2xy
\end{aligned}
\]
(ii)
\[
\begin{aligned}
g(z) &= \exp\{cxy - j(\sqrt{5}x^2 + dy^2)\} \\
&= e^{cxy}\{\cos(\sqrt{5}x^2 + dy^2) - j\sin(\sqrt{5}x^2 + dy^2)\} \\
u &= e^{cxy}\cos(\sqrt{5}x^2 + dy^2) \\
v &= -e^{cxy}\sin(\sqrt{5}x^2 + dy^2) \\
\frac{\partial u}{\partial x} &= cye^{cxy} \cos(\sqrt{5}x^2 + dy^2) - 2\sqrt{5}xe^{cxy} \sin(\sqrt{5}x^2 + dy^2)\\
\frac{\partial v}{\partial y} &= -cxe^{cxy} \sin(\sqrt{5}x^2 + dy^2) - 2dye^{cxy} \cos(\sqrt{5}x^2 + dy^2)
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} &\Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
&-2\sqrt{5}xe^{cxy} = -cxe^{cxy} \\
&cye^{cxy} = -2dye^{cxy}
\end{aligned}
\right. \\
&\Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
&c = 2\sqrt{5} \\
&c = -2d \\
\end{aligned}
\right. \\
&\Leftrightarrow
d = -\sqrt{5} \\
\end{aligned}
\]
\[
\therefore c = 2\sqrt{5} , d = -\sqrt{5}
\]
\[
\begin{aligned}
g(z) &= \exp\{2\sqrt{5}xy - j(\sqrt{5}x^2 - \sqrt{5}y^2)\} \\
&= \exp\{2\sqrt{5}xy - j\sqrt{5}(x^2 - y^2)\}
\end{aligned}
\]
(2)
\[
h(z) = 2 + \frac{2z}{z - 2} = \frac{2(z - 2) + 2z}{z - 2} = \frac{4z - 4}{z - 2}
\]
(a)
\[
z = 2
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
\text{Res}(h(z),2) &= \lim_{z \rightarrow 2}(z - 2)h(z) \\
&= \lim_{z \rightarrow 2}(4z - 4) \\
&= 4
\end{aligned}
\]
(\(c\))
\[
\int_{C_1} h(z)\text{d}z = 0
\]
(d)
\[
\int_{C_2}h(z)\text{d}z = 2\pi j \cdot \text{Res}(h(z),2) = 8\pi j
\]