東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年度 数学 2
Author
Zero, 祭音Myyura
Description
以下の問に解答せよ。ただし, 解答は導出過程も含めて記述すること。
(1) 式 \((2.1)\) で表される関数 \(f_1(t)\) のラプラス変換 \(F_1(s)\) を求めよ。
\[
f_1(t) = \left\{
\begin{aligned}
&0 &(t < 0) \\
&-t + 1 &(0 \le t \le 1) \\
&0 &(1 < t)
\end{aligned}
\right.\tag{2.1}
\]
(2) 式 \((2.2)\) で表される周期 \(4\) の周期関数 \(f_2(t)\) がある ( ただし, \(c\) は零でない実定数 ) 。また, 式 \((2.2)\) では \(-2 < t \le 2\) の範囲のみが示されている。
\[
f_2(t) = \left\{
\begin{aligned}
&ct + c &(-1 < t \le 0) \\
&-ct + c &(0 < t \le 1) \\
&0 &(-2 < t \le -1 , 1 < t \le 2)
\end{aligned}
\right.\tag{2.2}
\]
\(f_2(t)\) をフーリエ級数展開したところ, 式 \((2.3)\) で表される関数 \(f_3(t)\) が得られた。
\[
\begin{aligned}
f_3(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\bigg\{a_k\sin(\frac{k\pi}{2}t) + b_k\cos(\frac{k\pi}{2}t)\bigg\} \tag{2.3}
\end{aligned}
\]
このとき, 以下の問に答えよ。
(a) 式 \((2.3)\) において, \(a_0\) を求めよ。
(b) 式 \((2.3)\) において, \(a_k\) を求めよ。
© 式 \((2.3)\) において, \(b_1\) を求めよ。
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
F_1(s) &= \int_0^{\infty} f_1(t) e^{-st} \text{d}t \\
&= \int_0^1 (-t + 1) e^{-st}\text{d}t \\
&= \bigg[-\frac{1}{s}(1 - t)e^{-st}\bigg]_0^1 - \frac{1}{s} \int_0^1 e^{-st}\text{d}t \\
&= \bigg[0 + \frac{1}{s}\bigg] + \bigg[\frac{1}{s^2} e^{-st}\bigg]_0^1 \\
&= \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} e^{-s} - \frac{1}{s^2} \\
&= \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} (e^{-s} - 1)
\end{aligned}
\]
(2)
(a)
\[
\begin{aligned}
a_0 &= \frac{1}{2}\int_{-2}^2 f_2(t)\text{d}t \\
&= \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^1 c(1 - t) \text{d}t \\
&= c \int_0^1 (1 - t)\text{d}t \\
&= c \bigg[t - \frac{1}{2}t^2\bigg]_0^1 \\
&= c(1 - \frac{1}{2}) \\
&= \frac{c}{2}
\end{aligned}
\]
(b)
\(f_2(c)\) は, 偶関数なので, \(a_k = 0\)
©
\[
\begin{aligned}
b_1 &= \frac{1}{2}\int_{-2}^2 f_2(t) \cos(\frac{\pi}{2}t) \text{d}t \\
&= \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^1 c (-t + 1) \cos(\frac{\pi}{2}t) \text{d}t \\
&= c \int_0^1 (1 - t) \cos(\frac{\pi}{2}t) \text{d}t \\
&= c \bigg[(1 - t) \cdot \frac{2}{\pi} \sin(\frac{\pi}{2}t)\bigg]_0^1 + c \int_0^1 \frac{2}{\pi} \sin(\frac{\pi}{2}t) \text{d}t \\
&= \frac{2c}{\pi} (0 - 0) + \frac{2c}{\pi} \bigg[-\frac{2}{\pi}\cos(\frac{\pi}{2}t)\bigg]_0^1 \\
&= \frac{4c}{\pi^2} (-0 + 1) \\
&= \frac{4}{\pi^2}c
\end{aligned}
\]