東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年度 数学 1
Author
Zero, 祭音Myyura
Description
微分方程式に関する以下の問に, 導出過程も含めて答えよ。
(1) 式 \((1.1)\) で与えられる微分方程式がある。ただし, \(y\) は \(x\) の関数とする。
\[
\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0 \qquad (1.1)
\]
このとき, 以下の問に答えよ。ただし, \(x = 0\) において \(y = 0\) および \(\text{d}y/\text{d}x = 5\) とする。
(a) 式 \((1.1)\) の微分方程式を解き, \(y\) を求めよ。
(b) 前問 (a) において, \(y\) の最大値 \(y_{\max}\) を求めよ。
(2) 式 (1.2) で与えられる微分方程式がある。ただし, \(y\) は \(x\) の関数とし, \(y \neq 0\) および \(y \neq -2\) とする。また, \(x = 0\) において \(y = 2\) とする。
\[
\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y(x + 2) \qquad \qquad (1.2)
\]
このとき, \(y\) を求めよ。
(3) 式 (1.3) で与えられる微分方程式がある。ただし, \(y\) は \(x\) の関数とし, \(x \neq 0\) および \(y \neq 0\) とする。また, \(x = 1\) において \(y = 2\) とする。
\[
xy \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2y^2 + x^2 \qquad \quad (1.3)
\]
このとき, 以下の問に答えよ。
(a) \(u = y/x\) とし式 (1.3) を変形したところ \(\text{d}u/\text{d}x = B/A\) の関係式が得られた。ただし, \(A\) は \(u\) のみの関数とし, \(B\) は \(x\) のみの関数とする。このとき \(A\) と \(B\) をそれぞれ求めよ。
(b) 式 \((1.3)\) を解いたところ, 最終的に \(y^2 = C\) の関係式が得られた。ただし, \(C\) は \(x\) のみの関数とする。このとき \(C\) を求めよ。
Kai
(1)
\[
\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0
\]
(a)
特性方程式は,
\[
\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0
\]
\[
\Rightarrow \lambda = -2 \quad (\text{重解})
\]
一般解は,
\[
y = (c_1 + c_2x)e^{-2x} \quad (c_1,c_2 = \text{constant})
\]
\(x = 0, y = 0\) , \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 5\) より
\[
c_1 = 0
\]
\[
\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = c_2e^{-2x} - 2(c_1 + c_2x)e^{-2x}
\]
\[
\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\big|_{x=0} = c_2 = 5
\]
が分かるから、
\[
y = 5xe^{-2x}
\]
を得る。
(b)
\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0\) となるのは, \(x = \frac{1}{2}\) より
| x |
\(\cdots\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(\cdots\) |
| y' |
+ |
0 |
- |
| y |
\(\nearrow\) |
|
\(\searrow\) |
$
y_{\max} = \frac{5}{2e}
$
(2)
\[
\begin{aligned}
&\qquad\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y(y + 2) \\
&\Rightarrow \frac{\text{d}y}{y(y+ 2)} = \text{d}x \\
&\Rightarrow \frac{1}{2}\int(\frac{1}{y} - \frac{1}{y + 2})\text{d}y = \int\text{d}x \\
&\Rightarrow \frac{1}{2}(\log|y| - \log|y + 2|) = x + C \\
&\Rightarrow \log\bigg|\frac{y}{y + 2}\bigg| = 2x + 2C \\
&\Rightarrow \frac{y}{y + 2} = C'e^{2x} \\
&\Rightarrow y = C'e^{2x}(y + 2) \\
&\Rightarrow y = \frac{2C'e^{2x}}{1 - C'e^{2x}} \qquad (C,C' = \text{ constant.})
\end{aligned}
\]
\(x = 0, y = 2\) より
\[
\frac{2}{4} = C' \Rightarrow C' = \frac{1}{2}
\]
がわかるから
\[
y = \frac{e^{2x}}{1 - \frac{1}{2}e^{2x}} = \frac{2e^{2x}}{2 - e^{2x}}
\]
を得る。
(3)
(a)
\[
\begin{aligned}
&\qquad xy\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2y^2 + x^2 \\
&\Rightarrow \frac{y}{x}\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2(\frac{y}{x})^2 + 1 \\
&y = ux , \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = u + x\frac{\text{d}u}{\text{d}x} \\
&\Rightarrow u(u + ux\frac{\text{d}u}{\text{d}x}) = 2u^2 + 1 \\
&\Rightarrow u^2 + ux\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = 2u^2 + 1 \\
&\Rightarrow ux\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = u^2 + 1 \\
&\Rightarrow \frac{\text{d}u}{\text{d}x} = \frac{u^2 + 1}{ux} = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{u}{u^2 + 1}} \\
&A = \frac{u}{u^2 + 1}, B = \frac{1}{x}
\end{aligned}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
&\qquad \frac{u}{u^2 + 1}\text{d}u = \frac{1}{x}\text{d}x \\
&\Rightarrow \int\frac{u}{u^2 + 1}\text{d}u = \int\frac{1}{x}\text{d}x + C \\
&\Rightarrow \frac{1}{2}\log|u^2 + 1| = \log|x| + C \\
&\Rightarrow \log|u^2 + 1| = \log x^2 + 2C \\
&\Rightarrow u^2 + 1 = C'x^2 \\
&\Rightarrow (\frac{y}{x})^2 + 1 = C'x^2 \\
&\Rightarrow 4 + 1 = C'\\
&\Rightarrow 5 = C' \\
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
(\frac{y}{x})^2 &+ 1 = 5x^2 \\
y^2 &= x^2(5x^2 - 1) \\
C &= x^2(5x^2 - 1)
\end{aligned}
\]