東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 数学3
Author
祭音Myyura
Description
周期 \(N\) 点の実数の離散時間信号 \(f(n)\) を考える。式 \((3.1)\) 定義される離散フーリエ変換 \(F(k)\) に関する以下の問に，導出過程も含めて答えよ。ただし、\(n\),および \(k\) は整数であり、\(N\) は自然数である。また、虚数単位を \(j\) で表す \((j^2 = -1)\)。
\[
\begin{align}
F(k) = \sum_{n = 0}^{N - 1}f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \tag{3.1}
\end{align}
\]
(1) \(f(n)\) の離散フーリエ変換を考える。
(2) ある整数 \(m\) に対して \(f(n - m)\) の離散フーリエ変換が \(F(k)e^{-j\frac{2\pi}{N}km}\) となることを示せ。
(3) \(1\) Hz 未満に帯域制限された連続時間信号 \(g(t)\) に対して、時刻 \(t = 0\) からサンプリング周波数 \(2\)Hz で \(2\) 秒間サンプリングしたところ、\([3,0,1,2]\) の離散時間信号を得た。
-
(a) 得られた離散時間信号を \(f(n)\) (ただし、\(n = 0,1,2,3\)) とし、\(k = 0,1,2,3\) に対する \(F(k)\) をそれぞれ求めよ。
-
(b) (3) の (a) で導出した \(F(k)\) から、\(g(t)\) を求めよ。
Kai
(1)
(a)
\[
\begin{aligned}
\sum_{n = 0}^{N - 1} f(-n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} &= \sum_{n = 0}^{N - 1}f(N - n)e^{-j\frac{2\pi}{N}k(N - n)} \quad \big(\text{Substitute } N - n \text{ with } m) \\
&= \sum_{m = N}^1 f(m)e^{j\frac{2\pi}{N}km}
\end{aligned}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
\sum_{m = N}^1 f(m)e^{j\frac{2\pi}{N}km} =& \sum_{m = 1}^N f(m)e^{j\frac{2\pi}{N}km} \\
=& \sum_{m = 0}^{N - 1} f(m) e^{j\frac{2\pi}{N}km} \\
=& \sum_{n = 0}^{N - 1} f(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}(-k)n} \quad (\because m \rightarrow n) \\
=& F[-k]
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
&\sum_{n = 0}^{N - 1}f(n - m)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \\
=& \sum_{n = 0}^{N - 1}f(n - m)e^{-j\frac{2\pi}{N}k(n - m)} \cdot e^{-j\frac{2\pi}{N}km} \quad \big(\text{Substitute } n - m \text{ with } n'\big) \\
=& \sum_{n' = -m}^{N - 1 - m}f(n')e^{-j\frac{2\pi}{N}kn'} \cdot e^{-j\frac{2\pi}{N}km} \\
=& \bigg\{\sum_{n' = -m}^{-1}f(n')e^{-j\frac{2\pi}{N}kn'} + \sum_{n' = 0}^{N - 1 - m}f(n')e^{-j\frac{2\pi}{N}kn'}\bigg\}e^{-j\frac{2\pi}{N}km}
\end{aligned}
\]
第一項において、\(l = N + n'\) とすると、\(n':-m \rightarrow - 1,l: N - m \rightarrow N - 1\) より、
\[
\begin{aligned}
\sum_{n' = -m}^{-1} f(n')e^{-j\frac{2\pi}{N}kn'} &= \sum_{l = N - m}^{N - 1}f(l - N)e^{-j\frac{2\pi}{N}k(l - n)} \\
&= \sum_{n = N - m}^{N - 1}f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}
\end{aligned}
\]
よって、
\[
\begin{aligned}
&\sum_{n = 0}^{N - 1}f(n - m)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \\
=& \bigg\{\sum_{n = N - m} f(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} + \sum_{n = 0}^{N - 1 - m}f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\bigg\} e^{-j\frac{2\pi}{N}km} \\
=& \sum_{n = 0}^{N - 1} f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \cdot e^{-j\frac{2\pi}{N}km} \\
=& F(k)e^{-j\frac{2\pi}{N}km}
\end{aligned}
\]
(3)
(a)
\[
\begin{aligned}
F[k] &= \sum_{n = 0}^3 f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \\
F[0] &= 3 + 0 - 1 + 2 = 4 \\
F[1] &= 3 + 1 + 2j = 4 + 2j \\
F[2] &= 3 - 1 - 2 = 0 \\
F[3] &= 3 + 1 - 2j = 4 - 2j \\
\end{aligned}
\]
(b)
\(F[k]\) は、\(\text{fs} \times \frac{k}{N} \ [\text{Hz}]\) の成分を表す。\(\text{fs} = 2 \ [\text{Hz}]\), \(N = 4\) より、\(\frac{1}{2}k \ [\text{Hz}]\) の成分となる。
- (i) \(k = 0\) のとき (\(0 \ [\text{Hz}]\)、DC成分)、\(F(0) = 4 \neq 0\) より、DC成分を有する。
- (ii) \(k = 1\) のとき (\(\frac{1}{2} \ [\text{Hz}]\))、\(F(1) = 4 + 2j \neq 0\) より、\(\sin,\cos\) 成分を有する。
- (iii) \(k = 1\) のとき (\(1 \ [\text{Hz}]\))、\(F(2) = 0\) より、成分なし。
よって、\(g(t)\) は、DC および、\(\frac{1}{2} \ [\text{Hz}]\) の \(\sin,\cos\) 成分からなる。
\(\frac{1}{2} \ [\text{Hz}]\) の成分について、\(wt = 2\pi ft = \pi t\)、\(g(t) = A + B\cos\pi t + C\cos \pi t\) より、\(t = [0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}]\) と \(f(n) = [3,0,-1,2]\) が対応し、
\[
\left \{
\begin{aligned}
&g(0) = A + B = 3 \\
&g(\frac{1}{2}) = A + C = 0 \\
&g(1) = A - B = -1 \\
\end{aligned}
\right. \Rightarrow
\left \{
\begin{aligned}
&A = 1 \\
&B = 2 \\
&C = -1 \\
\end{aligned}
\right.
\]
従って、
\[
g(t) = 1 + 2\cos\pi t - \sin\pi t
\]