東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 数学2
Author
祭音Myyura
Description
複素関数に関する以下の問に答えよ。なお虚数単位を \(j\) で表す \((j^2 = -1)\)。
(1) 複素関数 \(f(z) = \frac{1}{z - p}\) を、この関数の特異点 \(p\) (\(p\) は複素数)を内側にもつ積分路 \(C\) に沿って周回積分することを考える。\(z - p = re^{j\phi}\) と置くことで \(\oint_C\frac{dz}{z - p} = 2\pi j\) となることを示せ。ただし、\(r\) と \(\phi\) は共に実数であり、\(r > 0\) とする。
(2) 下記に示す式 \((2.1)\) の定積分を考える。\(a\) は定数である。
\[
\begin{align}
\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{1 - 2a \cos\theta + a^2} \quad |a| < 1 \tag{2.1}
\end{align}
\]
(a) 関数 \(g(\theta) = \frac{1}{1 - 2a\cos\theta + a^2}\) は，\(g(\theta) = \frac{1}{(1 - ah(\theta))(1 - a/h(\theta))}\)の形で表される。関数 \(h(\theta)\) を求めよ。導出過程を示すこと。
(b) \(z = e^{j\theta}\) と置くことで、式 \((2.1)\) を \(z\) の積分式として表せ。
(\(c\)) 式 \((2.1)\) の定積分を求めよ。
Kai
(1)
\[
z = p + re^{j\phi}
\]
\[
\frac{dz}{d\phi} = jre^{j\phi} \Leftrightarrow dz = jre^{j\phi}d\phi
\]
\[
\begin{aligned}
\oint_C\frac{dz}{z - p} &= \int_0^{2\pi}\frac{1}{re^{j\phi}}jre^{j\phi}d\phi \\
&= j\int_0^{2\pi}d\phi \\
&= 2\pi j
\end{aligned}
\]
(2)
(a)
\[
\begin{aligned}
1 - 2a\cos\theta + a^2 &= (1 - ah(\theta))(1 - \frac{a}{h(\theta)}) \\
&= 1 - a(h(\theta) + \frac{1}{h(\theta)}) + a^2
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
-2a\cos\theta &= -a(h(\theta) + \frac{1}{h(\theta)}) \\
2\cos\theta &= h(\theta) + \frac{1}{h(\theta)} \\
2h(\theta)\cos\theta &= h^2(\theta) + 1 \\
h^2(\theta) &- 2h(\theta)\cos\theta + 1 = 0
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
h(\theta) &= \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta - 1} \\
&= \cos\theta \pm j\sqrt{1 - \cos^2\theta} \\
&= \cos\theta \pm j\sin\theta \\
&= e^{\pm j\theta}
\end{aligned}
\]
従って、
\[
h(\theta) = e^{\pm j\theta}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
&\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1 - 2a\cos\theta + a^2} \\
=& \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{(1 - ae^{j\theta})(1 - ae^{-j\theta})} \\
=& \oint_C\frac{1}{(1 - az)(1 - \frac{a}{z})} \cdot \frac{dz}{jz} \\
=& j\oint_C \frac{1}{(az - 1)(z - a)}dz \\
=& \frac{j}{a}\oint_C \frac{dz}{(z - \frac{1}{a})(z - a)}
\end{aligned}
\]
(\(c\))
\(|a| < 1\) より、\(|\frac{1}{a}| > 1\)
\(z = a\) のより、特異点である。
留数定理より、
\[
\begin{aligned}
\oint_C dz &= 2\pi j \cdot \frac{j}{a} \cdot \text{Res}(a,\frac{1}{(z - \frac{1}{a})(z - a)}) \\
&= - \frac{2\pi}{a}(\frac{1}{a - \frac{1}{a}}) \\
&= - \frac{2\pi}{a} \cdot \frac{a}{a^2 - 1} \\
&= \frac{2\pi}{1 - a^2} \quad (\because |a| < 1)
\end{aligned}
\]