東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 数学1
Author
祭音Myyura
Description
\(x\) と \(t\) の関数 \(y\) に関する \(2\) 階偏微分方程式
\[
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = p^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + p^2\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}\big[\ln S(x)\big]
\]
について以下の問に答えよ。但し、\(S(x) = S_1e^{m(x - x_1)}\) および \(y = \phi(x)e^{jqt}\) とし、\(p,q,m,S_1,x_1\) は正の定数とする。また、\(\ln S(x)\) は \(S(x)\) の自然対数を表し、虚数単位を \(j\) で表す \(j^2 = -1\)
(1) 上記の偏微分方程式が \(\bigg(\frac{d^2}{dx^2} + A\frac{d}{dx} + B\bigg)\phi(x) = 0\) と表される。係数 \(A,B\) を求めよ。
(2) (1)で示した微分方程式の一般解は \(\phi(x) = e^{-\beta x}\big(Ce^{j\alpha x} + De^{-j\alpha x}\big)\) とする。実数係数 \(\alpha,\beta\) を, 定数 \(p,q,m\) を用いて表せ。また \(\alpha\) が実数となる条件も示せ。但し \(\alpha > 0\) とする。
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi(x)e^{jqt} &= p^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\phi(x)e^{-jqt} + p^2\frac{\partial}{\partial x}\phi(x)e^{-jqt} \frac{\partial}{\partial x}\ln S_1e^{m(x - x_1)} \\
(jq)^2\phi(x)e^{-jqt} &= p^2e^{-jqt}\frac{d^2\phi(x)}{dx^2} + p^2e^{-jqt}\frac{d\phi(x)}{dx} \cdot \ln S_1\frac{d}{dx}\{m(x - x_1)\} \\
-q^2\phi(x) &= p^2\frac{d^2\phi(x)}{dx^2} + p^2 \cdot \ln S_1(m \frac{d\phi(x)}{dx}) \\
\end{aligned}
\]
\[
p^2\frac{d^2\phi(x)}{dx^2} + p^2 \cdot m \frac{d\phi(x)}{dx} + q^2\phi(x) = 0
\]
\[
\frac{d^2\phi(x)}{dx^2} + m \cdot \frac{d\phi(x)}{dx} + \frac{q^2}{p^2}\phi(x) = 0
\]
\[
\big(\frac{d^2}{dx^2} + m\frac{d}{dx} + \frac{q^2}{p^2}\big)\phi(x) = 0
\]
従って、
\[
A = m,B = \frac{q^2}{p^2}
\]
(2)
特性方程式は、
\[
\lambda^2 + A\lambda + B = 0
\]
\[
\lambda = \frac{-A \pm \sqrt{A^2 - 4B}}{2}
\]
\[
\beta = \frac{A}{2} = \frac{m}{2}
\]
\[
\alpha = \frac{\sqrt{4B^2 - A^2}}{2} = \frac{\sqrt{(\frac{2q}{p})^2 - m^2}}{2}
\]
\(\alpha > 0\) が実数となる条件は、
\[
(\frac{2q}{p} - m)(\frac{2q}{p} + m) > 0
\]
\[
\frac{2q}{p} - m > 0 \Rightarrow m < \frac{2q}{p}
\]