東京工業大学 物質理工学院 材料系 2022年度 第Iブロック [I-1] 数学
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Kai
(1)
与えられた微分方程式は変数分離型であり、次のように一般解を求められる：
\[
\begin{aligned}
\frac{dy}{y}
&= \frac{x-1}{x} dx
\\
&= \left( 1 - \frac{1}{x} \right) dx
\\
\log |y|
&= x - \log x + C_0
\\
\therefore \ \
y &= \frac{C e^x}{x}
\end{aligned}
\]
ここで、 \(C_0, C\) は積分定数である。
また、与えられた境界条件から \(C=1/e\) となるので、
\[
\begin{aligned}
y &= \frac{e^{x-1}}{x}
\end{aligned}
\]
を得る。
(2)
\(Y=y/2\) とすると、 \(dxdy = 2dxdY\) であり、与えられた積分範囲は \(xY\) 平面上の原点を中心とする半径 \(a\) の円である。
さらに、 \(x,Y\) に対して極座標 \(r, \theta\) を導入する：
\[
\begin{aligned}
x = r \cos \theta, \ \ Y = \frac{y}{2} = r \sin \theta
\end{aligned}
\]
\(dxdY = r dr d \theta\) である。 以上の準備の下で、次のように計算できる：
\[
\begin{aligned}
I
&= 2 \pi \int_0^a \sqrt{9a^2 - r^2} r dr
\\
&= - \frac{2 \pi}{3} \left[ \left( 9a^2 - r^2 \right)^{3/2} \right]_0^a
\\
&= \frac{2}{3} \left( 16 \sqrt{2} - 27 \right) \pi a^3
\end{aligned}
\]
(3)
①
\[
\begin{aligned}
\left| AB \right|
&= \left| A \right| \left| B \right|
\\
&= (3a-4)(-2-b^2)
\\
&= -(3a-4)(b^2+2)
\end{aligned}
\]
②
まず、固有値が \(-1\) と \(4\) ということはトレースが \(3\) なので、 \(a=0\) がわかる。 このとき、
\[
\begin{aligned}
AB = \begin{pmatrix} -2b & 4 \\ -2+3b & -2b-6 \end{pmatrix}
, \ \
BA = \begin{pmatrix} -2b & -2+3b \\ 4 & -2b-6 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
なので、 \(AB=BA\) となるのは \(b=2\) のときである。
③
与えられた2つのベクトルが \(B\) の固有ベクトルになるのは、 \(b=-2\) のときである：
\[
\begin{aligned}
B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
与えられた2つの固有ベクトルを使って、
\[
\begin{aligned}
P = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、
\[
\begin{aligned}
P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
, \ \
PBP = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
なので、次のように計算できる：
\[
\begin{aligned}
B^n
&= P \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n P
\\
&= P \begin{pmatrix} (-3)^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} P
\\
&= \frac{1}{5}
\begin{pmatrix} 2^{n+2} + (-3)^n & -2^{n+1} + 2 \cdot (-3)^n \\ -2^{n+1} + 2 \cdot (-3)^n & 2^n + 4 \cdot (-3)^n \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]