東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2019年度 午前 問A

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peter8rabit

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\(n\) を \(2\) 以上の整数とする． \(n\) 次実対称行列 \(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}\) は異なる固有値 \(\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots \lambda_n\) をもつとし，\(\lambda_i\) の固有ベクトルを \(\boldsymbol{x}_i \in \mathbb{R}^n\) とする． ただし \(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_n\) のユークリッドノルムは \(1\) とする．以下の問に答えよ．

(1) \(i \neq j\) なら \(\boldsymbol{x}_i\) と \(\boldsymbol{x}_j\) は直交することを証明せよ．

(2) \(\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times n}\) を \(n\) 次零行列とし，\(2n\) 次実対称行列 \(\boldsymbol{B}\) を

\[ \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \end{pmatrix} \]

と定める．\(\boldsymbol{B}\) の \(2n\) 個の固有ベクトルを一組求めよ． ただし各固有ベクトルのユークリッドノルムは \(1\) とし，異なる固有ベクトルは互いに直交するように選べ．

(3) 行列 \(B\) について，異なる固有値の個数の最小値を求めよ．また最小値を達成するとき，\(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) が満たすべき条件を求めよ．

Kai

(1)

\(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_i = \lambda \boldsymbol{x}_i\) と \(\boldsymbol{x}_j\) の内積をとると、\((\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_i)^T \boldsymbol{x}_j = (\lambda \boldsymbol{x}_i)^T \boldsymbol{x}_j\) より、

\[ (\lambda_i - \lambda_j) \boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{x}_j = 0 \]

\[ \therefore \boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{x}_j = 0 \]

(2)

\(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_i = \lambda \boldsymbol{x}_i\) より、\(\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}_i = \lambda^2 \boldsymbol{x_i}\)

\(\boldsymbol{B}\) の固有値を \(\gamma\)、その固有ベクトルを \(\begin{pmatrix} \boldsymbol{y}_1 \\ \boldsymbol{y}_2 \end{pmatrix}\) (\(\boldsymbol{y}_1, \boldsymbol{y}_2 \in \mathbb{R}^n\)) とすると、\(\boldsymbol{B} \begin{pmatrix} \boldsymbol{y}_1 \\ \boldsymbol{y}_2 \end{pmatrix} = \gamma \begin{pmatrix} \boldsymbol{y}_1 \\ \boldsymbol{y}_2 \end{pmatrix}\) より、

\[ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}\boldsymbol{y}_1 \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{y}_2 \end{pmatrix} = \gamma \begin{pmatrix} \boldsymbol{y}_1 \\ \boldsymbol{y}_2 \end{pmatrix} \\ &\Rightarrow \left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{A}\boldsymbol{y}_1 = \gamma \boldsymbol{y}_1 \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{y}_2 = \gamma \boldsymbol{y}_2 \end{aligned} \right.\\ &\Rightarrow \left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{y}_1 = \gamma^2 \boldsymbol{y}_1 \\ \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{y}_2 = \gamma^2 \boldsymbol{y}_2 \end{aligned} \right. \end{aligned} \]

従って、

\[ \left \{ \begin{aligned} \gamma^2 &= \lambda_i^2 \\ \boldsymbol{y}_1 &= c_1 \boldsymbol{x}_i \\ \boldsymbol{y}_2 &= c_2 \boldsymbol{x}_i \end{aligned} \right. \quad (c_1, c_2 \in \mathbb{R}) \quad (\forall i = 1, \ldots, n) \]

よって、題意を満たすように固有ベクトルをとると

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_i \\ \boldsymbol{x}_i \end{pmatrix} , \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \boldsymbol{x}_i \\ -\boldsymbol{x}_i \end{pmatrix} \quad (i = 1, \ldots, n) \]

(3)

\[ -\lambda_1 < -\lambda_2 < \cdots < -\lambda_n \leq \lambda_n < \lambda_{n-1} < \cdots < \lambda_1 \]

より、\(\lambda_n = 0\) のとき、\(2n - 1\) 個となる。