東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2019年度 午前 問5
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\(\mu\) を正の実数，\(f\) を \(f(x)=0 \ (x<0)\) を満たす \(\mathbb{R}\) 上の確率密度関数として，次の2つの命題 (A), (B) を考える．
(A) \(f(x) = \mu e^{-\mu x} \ (x \geq 0)\).
(B) \(X\) を確率密度関数 \(f\) をもつ確率変数とする． このとき，\(g(0) = 0\) を満たし，\([0, \infty)\) 上で連続かつ区分的に連続的微分可能な任意の実数値関数 \(g\) に対して，\(E[|g(X)|] < \infty\) かつ \(E[|g'(X)|] < \infty\) であれば
\[
E[g'(X)] = \mu E[g(X)]
\]
が成り立つ．ここで \(E\) は期待値を表し，\(g′\) は \(g\) の導関数を表す．
(1) (A) ならば (B) が成り立つことを示せ．
(2) 関数 \(g\) を次のように定めることによって (B) ならば (A) が成り立つことを示せ．任意に与えた \(a \geq 0, h > 0\) に対して
\[
g(x) = \left\{ \begin{aligned}
&0, &x<a, \\
&\frac{x-a}{h}, &a \leq x < a+h, \\
&1, &x \geq a+h
\end{aligned} \right.
\]
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
E[g'(x)] &= \int_0^{\infty} g'(x) f(x) dx \\
&= \mu \int_0^{\infty} g'(x) e^{-\mu x} dx \\
&= \mu \left[g(x) e^{-\mu x} \right]_0^{\infty} + \mu \int_0^{\infty} g(x) \mu e^{-\mu x}dx \\
&= \mu \int_0^{\infty} g(x) f(x) dx \\
&= \mu E[g(x)]
\end{aligned}
\]
(2)
\[
g'(x) = \left\{ \begin{aligned}
&\frac{1}{h} &a \leq x < a+h \\
&0 &\text{otherwise}
\end{aligned} \right.
\]
\(f\) の原始関数 \(\int_{-\infty}^x f(x) dx\) を \(F(x)\) とおくと、
\[
E[g'(x)] = \int_a^{a+h} \frac{1}{h} f(x) dx = \frac{F(a+h)-F(a)}{h} \rightarrow f(a) \quad (h \rightarrow 0)
\]
\[
\begin{aligned}
E[g(x)] &= \int_a^{a+h} \frac{x-a}{h} f(x) dx + \int_{a+h}^{\infty} f(x) dx \\
&= \frac{1}{h} \int_a^{a+h} xf(x) dx - \frac{a}{h} \int_a^{a+h} f(x)dx + \int_{a+h}^{\infty} f(x) dx \\
&= \frac{1}{h} \left[ xF(x) \right]_a^{a+h} - \frac{1}{h} \int_a^{a+h} F(x) dx - \frac{a}{h} \int_a^{a+h} f(x)dx + \int_{a+h}^{\infty} f(x) dx \\
&\quad \ \left(\frac{1}{h} \left[ xF(x) \right]_a^{a+h} = F(a+h) + a \cdot \frac{F(a+h)-F(a)}{h} \right) \\
&\rightarrow F(a) + a f(a) - F(a) - af(a) + 1 - F(a) \quad (h \rightarrow 0)
\end{aligned}
\]
よって、
\[
\left\{ \begin{aligned}
&F'(a) = \mu (1 - F(a)) \\
&F(0) = 0
\end{aligned} \right.
\quad (a \geq 0)
\]
を得る。これを解くと、
\[
F(x) = 1 - e^{-\mu x} \Rightarrow f(x) = \mu e^{-\mu x} \ (x \geq 0)
\]