東京工業大学情報理工学院数理・計算科学系 2018年度午前問B

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peter8rabit, 祭音Myyura

数列 \(\{a_n\}_{n=0}^{\infty}\) が，

\[ a_{n+1} \leq \frac{1}{2} a_n, \ \ a_n \geq 0 \]

を満たすとする．

(1) \(n \rightarrow \infty\) のとき，\(\{a_n\}_{n=0}^{\infty}\) は収束することを示せ．

(2) 級数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) は収束するか．収束するならば証明し，収束しないならば反例をあげよ．

\(\forall n, 0 \leq a_n\) より \(\{a_n\}\) は下に有界。
\(a_{n+1} - a_n \leq \frac{1}{2}a_n - a_n = -\frac{1}{2}a_n \leq 0\) より、\(\{a_n\}\) は単調減少列。

従って、下に有界な単調減少列は収束する。

\[ a_n \leq \frac{1}{2}a_{n-1} \leq \left ( \frac{1}{2} \right )^2 a_{n-2} \leq \cdots \leq \left ( \frac{1}{2} \right )^n a_0 \]

より

\[ \sum_{n=0}^{m} a_n \leq \sum_{n=0}^{m} \left( \frac{1}{2} \right)^n a_0 \Rightarrow \sum_{n=0}^{m} a_n \leq 2a_0 \ \ (m \rightarrow \infty) \]

一方、\(0 \leq a_n\) より、\(\sum_{n=0}^{m} a_n\) は \(m\) について単調増加。

従って、上に有界な単調増加列は収束する。