東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年度 午前 問5
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以下，\(P\) は確率，\(E\) は期待値を表すものとする．
(1) 非負整数値をとる確率変数 \(N\) に対して，\(E[N] = \sum_{n=0}^{\infty}P(N > n)\) が成り立つことを示せ．
\(X_1, X_2, \ldots\) を互いに独立に \([0, 1]\) 上の一様分布にしたがう確率変数の列とする．
(2) \(a\) を実数として，\(P(X_1 + X_2 \leq a)\) を \(a\) を用いて表せ．
(3) \(a \in [0,1]\) のとき，正整数 \(n\) に対して \(P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \leq a) = \frac{a^n}{n!}\) が成り立つことを示せ．
(4) 確率変数 \(N\) を \(N = \min \left\{ n \geq 1 \mid \sum_{i=1}^n X_i > 1 \right\}\) により定める．\(E[N]\) を求めよ．
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
E[N] &= \sum_{n=0}^{\infty} n P(N = n) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=1}^n P(N = n) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} P(N=n) \\
&= \sum_{k=1}^{\infty} P(N \geq k) = \sum_{k=0}^{\infty} P(N > k)
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
P(X_1 + X_2 \leq a) &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1}(a-y) f_{X_2}(y) dy \\
&= \begin{cases}
0 \ &(a \leq 0) \\
\int_{0}^ady=a \ &(0 \leq a \leq 1) \\
\int_{a-1}^1 dy = 2-a \ &(1 \leq a \leq 2) \\
0 \ &(a \geq 2)
\end{cases}
\end{aligned}
\]
\(f_{X_1}, f_{X_2} > 0\) となる範囲は、
\[
\begin{cases}
0 \leq a - y \leq 1 \\
0 \leq y \leq 1
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a - 1 \leq y \leq a \\
0 \leq y \leq 1
\end{cases}
\]
(3)
\(n\) に関する帰納法で示す。
\(n=1\) のときは自明
\(P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \leq a) = \frac{a^n}{n!}\) が成り立つことを仮定すると、
\[
\begin{aligned}
P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n + X_{n+1} \leq a) &= \int_{0}^1 P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n + y \leq t) f(y) dy \\
&= \int_0^a \frac{(a-y)^n}{n!} dy = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}
\end{aligned}
\]
より、\(n+1\) でも成立。
(4)
\[
\begin{aligned}
E(N) &= \sum_{n=0}^{\infty} P(N > n) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n \leq 1) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \\
&= e
\end{aligned}
\]