東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2018年度 午前 問3
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\([0, \infty) \times (-\infty, \infty)\) で定義された \(C^2\) 級の関数 \(u(t, x)\) が，
\[
\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + x,
\]
\[
u(0,x) = x, \quad \frac{\partial u}{\partial t} (0, x) = 0
\]
を満たすとする．
(1) \(v = u + \frac{1}{6}x^3\) とおく．\(v\) の満たす偏微分方程式を求めよ．
(2) \(u\) を求めよ．
Kai
(1)
\[
\frac{\partial^2v}{\partial t^2} = \frac{\partial^2v}{\partial x^2}, \quad v(0,x) = \frac{1}{6}x^3 + x, \quad \frac{\partial v}{\partial t}(0,x) = 0
\]
(2)
ダランベールの解法より、
\[
v(t,x) = \frac{1}{2} (v(0, x+t) + v(0, x-t)) + \frac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t} \frac{\partial v}{\partial t} (0,x) dx \\
\]
より
\[
\begin{aligned}
v(t,x) &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6}(x+t)^3 + (x+t) + \frac{1}{6}(x-t)^3 + (x-t) \right) \\
&= \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{2} xt^2 + x \\
\therefore u(t,x) &= v(t,x) - \frac{1}{6}x^3 = \frac{1}{2}xt^2 + x
\end{aligned}
\]