東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2022年度 午前 1.
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Kai
1)
\[
\begin{aligned}
\det A
&= \frac{1}{27} \left( (1-8-8) - (4+4+4) \right)
\\
&= -1
\end{aligned}
\]
2)
\[
\begin{aligned}
\det (xI-A)
&= x^3-x^2-x+1
\\
&= (x+1)(x-1)^2
\end{aligned}
\]
3)
2) より、 \(A\) の固有値は \(-1, 1\) である。
4)
\(A\) の固有値 \(-1\) に対する固有空間（これは1次元である）の基底を求めるために、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(x=y=z\) を得るので、例えば、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
が基底になる。
\(A\) の固有値 \(1\) に対する固有空間の基底を求めるために、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(x+y+z=0\) を得るので、例えば、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
が基底になる。
5)
複素正方行列 \(U\) とその複素転置 \(U^*\) について、
\[
\begin{aligned}
U^* U = U U^* = \text{単位行列}
\end{aligned}
\]
が成り立つとき、 \(U\) はユニタリ行列であるという。
与えられた \(A\) について、
\[
\begin{aligned}
A^* = A
\end{aligned}
\]
であり、計算から
\[
\begin{aligned}
A^2 = I
\end{aligned}
\]
がわかるので、 \(A\) はユニタリ行列である。
6)
複素正方行列 \(H\) とその複素転置 \(H^*\) について、
\[
\begin{aligned}
H = H^*
\end{aligned}
\]
が成り立つとき、 \(H\) はエルミート行列であるという。
与えられた \(A\) について、
\[
\begin{aligned}
A^* = A
\end{aligned}
\]
であるので、 \(A\) はエルミート行列である。
7)
4) で \(A\) の固有値 \(1\) に対する固有空間の基底を求めたが、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
のように選ぶこともでき、このようにすると直交した基底になる。
したがって、規格化も考慮して、
\[
\begin{aligned}
B
= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}
\sqrt{2} & \sqrt{3} & 1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{3} & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、
\[
\begin{aligned}
A = BDB^*
, \ \
D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
が成り立つことがわかる。