東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2020年度 午前 1.
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Kai
1)
a)
\[
\begin{aligned}
\lim_{x \to \infty}
\left\{ \log_e (2x+3) - \log_e (x) \right\}
&=
\lim_{x \to \infty}
\log_e \left( 2 + \frac{3}{x} \right)
\\
&=
\log_e 2
\end{aligned}
\]
b)
\[
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0}
\frac{1 - \cos x}{x \sin x}
&=
\lim_{x \to 0}
\frac{1 - \left(1 - \frac{1}{2} x^2 + \cdots \right)}{x \cdot ( x + \cdots )}
\\
&=
\frac{1}{2}
\end{aligned}
\]
c)
\[
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0}
\frac{e^{3x} - \cos x}{x}
&=
\lim_{x \to 0}
\frac{( 1 + 3x + \cdots ) - \left(1 - \frac{1}{2} x^2 + \cdots \right)}{x}
\\
&=
3
\end{aligned}
\]
2)
\[
\begin{aligned}
\det
\left[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ x & 2 & 1 \\ x^2 & 3 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
31 & 23 & 17 \\ 0 & 11 & 11 \\ 0 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\right]
&=
\det
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ x & 2 & 1 \\ x^2 & 3 & 2
\end{pmatrix}
\cdot
\det
\begin{pmatrix}
31 & 23 & 17 \\ 0 & 11 & 11 \\ 0 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\\
&=
\det
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\ 3 & 2
\end{pmatrix}
\cdot
31
\det
\begin{pmatrix}
11 & 11 \\ 4 & 5
\end{pmatrix}
\\
&=
1 \cdot 31 \cdot 11
\\
&=
341
\end{aligned}
\]
3)
\[
\begin{aligned}
E(X)
&=
-4 \int_0^1 x^2 \log_e (x) dx
\\
&=
\frac{4}{9}
\\
E(X^2)
&=
-4 \int_0^1 x^3 \log_e (x) dx
\\
&=
\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
V(X)
&=
\frac{1}{4} - \left( \frac{4}{9} \right)^2
\\
&=
\frac{17}{324}
\end{aligned}
\]
また、 \(0 \leq x \leq 1\) について、
\[
\begin{aligned}
F_X(x)
&=
-4 \int_0^x y \log_e (y) dy
\\
&=
-2 x^2 \log_e(x) + x^2
\end{aligned}
\]
4)
\[
\begin{aligned}
\frac{ \frac{1}{1000} \cdot \frac{99}{100}}
{ \frac{1}{1000} \cdot \frac{99}{100} + \frac{999}{1000} \cdot \frac{1}{5}}
=
\frac{11}{2231}
\end{aligned}
\]
5)
ボールがポケットAに入る確率を \(p\) とすると、
\[
\begin{aligned}
H_0 : p = \frac{1}{4}
, \ \ \ \
H_1 : p \gt \frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
と表せる。 \(H_0\) の下で、5回試行中4回Aに入る確率は、
\[
\begin{aligned}
{}_5 C_4 \left( \frac{1}{4} \right)^4 \cdot \frac{3}{4}
=
\frac{15}{4^5}
\end{aligned}
\]
であり、5回試行中5回Aに入る確率は、
\[
\begin{aligned}
{}_5 C_5 \left( \frac{1}{4} \right)^5
=
\frac{1}{4^5}
\end{aligned}
\]
であるから、p値は
\[
\begin{aligned}
\frac{15}{4^5} + \frac{1}{4^5}
= \frac{16}{4^5}
= \frac{1}{64}
\approx
0.0156
\end{aligned}
\]
となり、有意水準5%で、 \(H_0\) は棄却され、 \(H_1\) が採択される。