東京工業大学 情報理工学院 情報工学系 2019年度 午前 1.
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Kai
1)
a)
\[
\begin{aligned}
\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}
&= 3 \cdot 5 - 2 \cdot (-1)
\\
&= 17
\end{aligned}
\]
b)
\[
\begin{aligned}
\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}
&= (-6+1) - (4+2)
\\
&= -11
\end{aligned}
\]
c)
\[
\begin{aligned}
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & x & 2 \\ 1 & 1 & x^2 & 4 \\ 1 & -1 & x^3 & 8 \end{vmatrix}
&= 6(x+1)(x-1)(x-2)
\end{aligned}
\]
2)
\(W^\perp\) に属するベクトルを \((x,y,z,w)^T\) とすると、 \((1,1,0,1)^T\) と直交することから \(x+y+w=0\) でなければならず、 \((0,1,-1,0)^T\) と直交することから \(y-z=0\) でなければならない。 よって、 \(W^\perp\) の基底としては、例えば、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
, \ \
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
がある。
3)
a)
\[
\begin{aligned}
f^{(1)}(x) = \frac{1}{1+x}
\end{aligned}
\]
b)
\[
\begin{aligned}
f^{(2)}(x) &= -\frac{1}{(1+x)^2}
\\
f^{(3)}(x) &= \frac{2}{(1+x)^3}
\\
f^{(4)}(x) &= - \frac{3 \cdot 2}{(1+x)^4}
\\
&\cdots
\end{aligned}
\]
より、 \(k = 1, 2, \cdots\) について
\[
\begin{aligned}
f^{(k)}(x) &= \frac{(-1)^{k+1} (k-1)!}{(1+x)^k}
\end{aligned}
\]
がわかる。
c)
\(f(0)=0\) であり、 \(k=1,2, \cdots\) について
\[
\begin{aligned}
f^{(k)}(0) &= (-1)^{k+1} (k-1)!
\end{aligned}
\]
であるから、 \(f(x)\) のマクローリン展開は
\[
\begin{aligned}
f(x) &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1} (k-1)!}{k!} x^k
\\
&= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k
\end{aligned}
\]
である。
よって、
\[
\begin{aligned}
g(x) &= f \left( -x^2 \right)
\\
&= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} \left( -x^2 \right)^k
\\
&= \sum_{k=1}^\infty \frac{-1}{k} x^{2k}
\end{aligned}
\]
がわかる。
したがって、 \(n \geq 1\) について \(x^n\) の項の係数は、 \(n\) が奇数のときは \(0\) であり、 \(n\) が偶数のときは \(-2/n\) である。
4)
\(X\) が \(0\) かつ \(Y\) が \(0\) である確率は
\[
\begin{aligned}
P_X(0) P_{Y|X}(0|0) = p(1-q)
\end{aligned}
\]
であり、 \(X\) が \(1\) かつ \(Y\) が \(0\) である確率は
\[
\begin{aligned}
P_X(1) P_{Y|X}(0|1) = (1-p)q
\end{aligned}
\]
であるから、求める確率は、
\[
\begin{aligned}
P_{X|Y}(1|0)
&= \frac{(1-p)q}{p(1-q)+(1-p)q}
\\
&= \frac{(1-p)q}{p+q-2pq}
\end{aligned}
\]
である。