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横浜国立大学 国際社会科学府 経済学専攻 2021年9月実施 一般入試 統計学 問1

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

正整数 nn に対して、確率変数 XnX_n は次の確率関数をもつとする。

Pr⁡(Xn=k2n)=12n,k=1,2,…,2n.\Pr\left(X_n=\frac{k}{2^n}\right)=\frac1{2^n},\qquad k=1,2,\ldots,2^n.

また、確率変数 XX は [0,1][0,1] 上の一様確率変数とする。すなわち、その密度関数は

f(x)={1(0≤x≤1),0それ以外f(x)=\begin{cases}1&(0\le x\le1),\\0&\text{それ以外}\end{cases}

である。以下の問いに答えよ。

(a) 期待値 E(Xn)E(X_n) と E(X)E(X) を求め、lim⁡n→∞E(Xn)=E(X)\lim_{n\to\infty}E(X_n)=E(X) を示せ。

(b) 分散 Var⁡(Xn)\operatorname{Var}(X_n) と Var⁡(X)\operatorname{Var}(X) を求め、lim⁡n→∞Var⁡(Xn)=Var⁡(X)\lim_{n\to\infty}\operatorname{Var}(X_n)=\operatorname{Var}(X) を示せ。

(c) 実数 tt に対し、XnX_n と XX のモーメント母関数 mXn(t)=E(etXn)m_{X_n}(t)=E(e^{tX_n})、mX(t)=E(etX)m_X(t)=E(e^{tX}) を求め、lim⁡n→∞mXn(t)=mX(t)\lim_{n\to\infty}m_{X_n}(t)=m_X(t) を示せ。

题目描述​

对正整数 nn，随机变量 XnX_n 在 k/2nk/2^n（k=1,…,2nk=1,\ldots,2^n）各点取值的概率均为 2−n2^{-n}。随机变量 XX 服从 [0,1][0,1] 上的均匀分布，即该区间上密度为 11，其余地方为 00。

(a) 求 E(Xn)E(X_n) 与 E(X)E(X)，并证明前者随 n→∞n\to\infty 收敛到后者。

(b) 求 Var⁡(Xn)\operatorname{Var}(X_n) 与 Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)，并证明方差也具有同样的收敛关系。

(c) 对任意实数 tt，求二者的矩母函数 mXn(t)m_{X_n}(t) 和 mX(t)m_X(t)，并证明 mXn(t)→mX(t)m_{X_n}(t)\to m_X(t)。

Kai​

計算を簡潔にするため N=2nN=2^n とおく。

(a)​

整数の和の公式より

E(Xn)=1N2∑k=1Nk=N(N+1)2N2=12+12n+1.E(X_n)=\frac1{N^2}\sum_{k=1}^Nk =\frac{N(N+1)}{2N^2} =\boxed{\frac12+\frac1{2^{n+1}}}.

一方、

E(X)=∫01x dx=12.\boxed{E(X)=\int_0^1x\,dx=\frac12}.

したがって lim⁡n→∞E(Xn)=1/2=E(X)\lim_{n\to\infty}E(X_n)=1/2=E(X) である。

(b)​

二乗和の公式より

E(Xn2)=1N3∑k=1Nk2=(N+1)(2N+1)6N2.E(X_n^2)=\frac1{N^3}\sum_{k=1}^Nk^2 =\frac{(N+1)(2N+1)}{6N^2}.

よって

Var⁡(Xn)=(N+1)(2N+1)6N2−(N+12N)2=N2−112N2=1−2−2n12.\begin{aligned} \operatorname{Var}(X_n) &=\frac{(N+1)(2N+1)}{6N^2}-\left(\frac{N+1}{2N}\right)^2\\ &=\frac{N^2-1}{12N^2}=\boxed{\frac{1-2^{-2n}}{12}}. \end{aligned}

また、E(X2)=∫01x2 dx=1/3E(X^2)=\int_0^1x^2\,dx=1/3 より

Var⁡(X)=13−14=112.\boxed{\operatorname{Var}(X)=\frac13-\frac14=\frac1{12}}.

したがって lim⁡n→∞Var⁡(Xn)=1/12=Var⁡(X)\lim_{n\to\infty}\operatorname{Var}(X_n)=1/12=\operatorname{Var}(X) となる。

(c)​

t≠0t\ne0 では等比数列の和を用いて

mXn(t)=1N∑k=1Netk/N=et/N(et−1)N(et/N−1).\begin{aligned} m_{X_n}(t) &=\frac1N\sum_{k=1}^Ne^{tk/N}\\ &=\frac{e^{t/N}(e^t-1)}{N(e^{t/N}-1)}. \end{aligned}

t=0t=0 では定義から mXn(0)=1m_{X_n}(0)=1 である。したがって

mXn(t)={et/2n(et−1)2n(et/2n−1)(t≠0),1(t=0).\boxed{m_{X_n}(t)=\begin{cases} \dfrac{e^{t/2^n}(e^t-1)}{2^n(e^{t/2^n}-1)}&(t\ne0),\\ 1&(t=0). \end{cases}}

連続一様分布については

mX(t)=∫01etx dx={et−1t(t≠0),1(t=0).\boxed{m_X(t)=\int_0^1e^{tx}\,dx =\begin{cases}\dfrac{e^t-1}{t}&(t\ne0),\\1&(t=0).\end{cases}}

固定した t≠0t\ne0 に対し、N(et/N−1)→tN(e^{t/N}-1)\to t、et/N→1e^{t/N}\to1 なので

lim⁡n→∞mXn(t)=et−1t=mX(t).\lim_{n\to\infty}m_{X_n}(t)=\frac{e^t-1}t=m_X(t).

t=0t=0 でも両辺が常に 11 であるから、すべての実数 tt について所望の収束が成り立つ。

Reference​

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