山梨大学 医工農学総合教育部 工学専攻 機械工学コース 2023年度 前期募集 数学 問5

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• 微分方程

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

(1) 次の微分方程式の一般解を求めよ。

$$(2x-3y)\,dx+\left(\frac1{y^2}-3x\right)\,dy=0.$$

(2) $D=d/dx$ として、次の微分方程式の特殊解を求めよ。

$$(D^2+D+3)y=3x^2+8x.$$

题目描述

(1) 求 $(2x-3y)\,dx+(1/y^2-3x)\,dy=0$ 的通解。

(2) 设 $D=d/dx$，求 $(D^2+D+3)y=3x^2+8x$ 的一个特解。

Kai

(1)

$y\ne0$ において

$$\frac{\partial}{\partial y}(2x-3y) =\frac{\partial}{\partial x}(y^{-2}-3x)=-3$$

なので完全微分方程式である。実際、

$$d\left(x^2-3xy-\frac1y\right) =(2x-3y)\,dx+\left(\frac1{y^2}-3x\right)\,dy.$$

したがって一般解は

$$\boxed{x^2-3xy-\frac1y=C\quad(y\ne0)}$$

である。

(2)

$y_p=ax^2+bx+c$ とおくと

$$y_p''+y_p'+3y_p =3ax^2+(2a+3b)x+(2a+b+3c).$$

係数比較により $a=1,\ b=2,\ c=-4/3$ となる。よって

$$\boxed{y_p=x^2+2x-\frac43}.$$

Reference

• 山梨大学公式問題（PDF 4頁）
• Miyake：参考解答
• 山梨大学募集要項（試験日：25頁）