山梨大学医工農学総合教育部工学専攻機械工学コース 2023年度前期募集数学問4

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

関数

f(x)=\sin x+\frac13\sin3x\qquad(0\le x\le\pi)

の極値を求めよ。

求 $f(x)=\sin x+\frac13\sin3x$ 在 $0\le x\le\pi$ 内的极值。

導関数は

f'(x)=\cos x+\cos3x=2\cos x\cos2x.

内部の停留点は $x=\pi/4,\pi/2,3\pi/4$ である。 $f'$ の符号は順に $+,-,+,-$ と変わるので

\boxed{\text{極大値 }\frac{2\sqrt2}{3}\quad \left(x=\frac\pi4,\frac{3\pi}4\right)}, \qquad \boxed{\text{極小値 }\frac23\quad\left(x=\frac\pi2\right)}.

なお、閉区間全体の最大値は $2\sqrt2/3$ 、最小値は端点 $x=0,\pi$ における $0$ である。端点も定義域に対する片側の局所最小として数える場合には、この $0$ も含める。