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山梨大学 医工農学総合教育部 工学専攻 機械工学コース 2023年度 前期募集 数学 問3

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

次の定積分を求めよ。

(a) ∫12dx(x+1)2\displaystyle\int_1^2\frac{dx}{(x+1)^2}。

(b) ∫−11e−2x dx\displaystyle\int_{-1}^1e^{-2x}\,dx。

题目描述​

求定积分：(a) ∫12(x+1)−2 dx\int_1^2(x+1)^{-2}\,dx；(b) ∫−11e−2x dx\int_{-1}^1e^{-2x}\,dx。

Kai​

(a)​

∫12dx(x+1)2=[−1x+1]12=−13+12=16.\int_1^2\frac{dx}{(x+1)^2}=\left[-\frac1{x+1}\right]_1^2 =-\frac13+\frac12=\boxed{\frac16}.

(b)​

∫−11e−2x dx=[−12e−2x]−11=e2−e−22.\int_{-1}^1e^{-2x}\,dx=\left[-\frac12e^{-2x}\right]_{-1}^1 =\boxed{\frac{e^2-e^{-2}}2}.

Reference​

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