山梨大学医工農学総合教育部工学専攻機械工学コース 2022年7月実施前期募集数学問2

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

問2　次に示す線形写像 $f$ と $g$ がある。

Problem 2　Let $f$ and $g$ be linear transformations defined by:

f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}2x_1-x_2\\3x_2+2x_3\end{pmatrix},

g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\qquad g\left(\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}y_1+3y_2\\-2y_1+y_2\end{pmatrix}.

(1)

f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right) =A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\qquad g\left(\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right) =B\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}

となる表現行列 $A,B$ をそれぞれ求めよ。

Find matrices $A$ and $B$ such that

f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right) =A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\quad\text{and}\quad g\left(\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right) =B\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}.

(2) 合成写像 $g\circ f$ の表現行列が $C=BA$ になることを示し、 $C$ を求めよ。

Show that the matrix $C=BA$ represents the composite linear transformation $g\circ f$ . And find $C$ .

问2　给定线性映射

f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}2x_1-x_2\\3x_2+2x_3\end{pmatrix},

g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\qquad g\left(\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}y_1+3y_2\\-2y_1+y_2\end{pmatrix}.

(1) 分别求使下式成立的表示矩阵 $A,B$ 。

f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right) =A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\qquad g\left(\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right) =B\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}.

(2) 证明复合映射 $g\circ f$ 的表示矩阵为 $C=BA$ ，并求出 $C$ 。

各成分の係数を並べると

\boxed{A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&3&2\end{pmatrix}},\qquad \boxed{B=\begin{pmatrix}1&3\\-2&1\end{pmatrix}}.

任意の $\boldsymbol x\in\mathbb R^3$ に対して

(g\circ f)(\boldsymbol x)=g(A\boldsymbol x)=B(A\boldsymbol x)=(BA)\boldsymbol x.

よって表現行列は $BA$ であり、

\boxed{C=BA=\begin{pmatrix}2&8&6\\-4&5&2\end{pmatrix}}.