山梨大学医工農学総合教育部工学専攻機械工学コース 2023年度前期募集数学問2

标签：

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

線形写像 $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ 、 $g:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ を

f\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x_1-x_2\\3x_2+2x_3\end{pmatrix},\qquad g\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}y_1+3y_2\\-2y_1+y_2\end{pmatrix}

と定める。

(1) $f(\boldsymbol x)=A\boldsymbol x,\ g(\boldsymbol y)=B\boldsymbol y$ を満たす表現行列を求めよ。

(2) 合成写像 $g\circ f$ の表現行列が $C=BA$ になることを示し、 $C$ を求めよ。

线性映射 $f,g$ 如上。(1) 求满足 $f(\boldsymbol x)=A\boldsymbol x,\ g(\boldsymbol y)=B\boldsymbol y$ 的表示矩阵；(2) 证明复合映射 $g\circ f$ 的矩阵为 $C=BA$ ，并求 $C$ 。

各成分の係数を並べると

\boxed{A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&3&2\end{pmatrix}},\qquad \boxed{B=\begin{pmatrix}1&3\\-2&1\end{pmatrix}}.

任意の $\boldsymbol x\in\mathbb R^3$ に対して

(g\circ f)(\boldsymbol x)=g(A\boldsymbol x)=B(A\boldsymbol x)=(BA)\boldsymbol x.

よって表現行列は $BA$ であり、

\boxed{C=BA=\begin{pmatrix}2&8&6\\-4&5&2\end{pmatrix}}.