山梨大学医工農学総合教育部工学専攻機械工学コース 2023年度前期募集数学問1

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

実数 $\lambda,a,b,c,d,e,f,g,h,i$ に対して

A=\begin{pmatrix}\lambda&0&1\\0&\lambda&0\\1&1&\lambda\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}

とおく。 $AX=XA$ を満たすとき、 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ のうち必ず $0$ になるものをすべて答えよ。

给定实数矩阵 $A,X$ 如上。在 $AX=XA$ 条件下，求 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ 中所有必为零的元素。

$A=\lambda I+N$ とおけば、 $AX=XA$ は $NX=XN$ と同値である。

NX-XN=\begin{pmatrix} g-c&h-c&i-a\\ -f&-f&-d\\ a+d-i&b+e-i&c+f-g \end{pmatrix}.

したがって

d=f=0,\qquad g=h=c,\qquad i=a,\qquad e=a-b.

$a,b,c$ は自由に選べるので、必ず $0$ となる成分は $\boxed{d,f}$ のみである。