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山形大学 理工学研究科 情報・エレクトロニクス専攻 2023年度 基礎科目 問題2

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

λ≠0\lambda\ne0 を実数、nn を自然数とし、

A=(λ−21−4λ+2),P=(1021),J=(λ10λ)A=\begin{pmatrix}\lambda-2&1\\-4&\lambda+2\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix},\qquad J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}

とおく。

(1) P−1P^{-1} を求め、A=PJP−1A=PJP^{-1} を示せ。

(2) 数学的帰納法により Jn=(λnnλn−10λn)J^n=\begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix} を示せ。

(3) An=PJnP−1A^n=PJ^nP^{-1} を示し、AnA^n を n,λn,\lambda の式で表せ。

(4) lim⁡n→∞Annλn−1\lim_{n\to\infty}\frac{A^n}{n\lambda^{n-1}} を求めよ。

题目描述​

实数 λ≠0\lambda\ne0，nn 为自然数。矩阵 A,P,JA,P,J 如上。

(1) 求 P−1P^{-1} 并证明 A=PJP−1A=PJP^{-1}。

(2) 用数学归纳法证明所给 JnJ^n 公式。

(3) 证明 An=PJnP−1A^n=PJ^nP^{-1}，并用 n,λn,\lambda 表示 AnA^n。

(4) 求 An/(nλn−1)A^n/(n\lambda^{n-1}) 在 n→∞n\to\infty 时的极限。

Kai​

(1)​

P−1=(10−21),PJP−1=(λ−21−4λ+2)=A.P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix},\qquad PJP^{-1}=\begin{pmatrix}\lambda-2&1\\-4&\lambda+2\end{pmatrix}=A.

(2)​

n=1n=1 では明らかである。n=kn=k で成り立つと仮定すると

Jk+1=JkJ=(λkkλk−10λk)(λ10λ)=(λk+1(k+1)λk0λk+1).J^{k+1}=J^kJ =\begin{pmatrix}\lambda^k&k\lambda^{k-1}\\0&\lambda^k\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda^{k+1}&(k+1)\lambda^k\\0&\lambda^{k+1}\end{pmatrix}.

したがって数学的帰納法により、すべての自然数 nn で成立する。

(3)​

積の途中の P−1PP^{-1}P が単位行列になるため、An=(PJP−1)n=PJnP−1A^n=(PJP^{-1})^n=PJ^nP^{-1}。よって

An=(λn−2nλn−1nλn−1−4nλn−1λn+2nλn−1).\boxed{A^n=\begin{pmatrix} \lambda^n-2n\lambda^{n-1}&n\lambda^{n-1}\\ -4n\lambda^{n-1}&\lambda^n+2n\lambda^{n-1} \end{pmatrix}}.

(4)​

Annλn−1=(λ/n−21−4λ/n+2)⟶(−21−42).\frac{A^n}{n\lambda^{n-1}} =\begin{pmatrix}\lambda/n-2&1\\-4&\lambda/n+2\end{pmatrix} \longrightarrow\boxed{\begin{pmatrix}-2&1\\-4&2\end{pmatrix}}.

Reference​

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