山形大学理工学研究科情報・エレクトロニクス専攻 2022年8月実施基礎科目問題2

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

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実数 $\lambda$ が $\lambda\ne0$ を満たすとき，3 つの行列：

A=\begin{pmatrix}\lambda-2&1\\-4&\lambda+2\end{pmatrix},\quad P=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix},\quad J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}

について，次の問いに答えよ。ただし，以下では $n$ を自然数とする。

(1) 逆行列 $P^{-1}$ を求め， $A=PJP^{-1}$ を示せ。

(2) 数学的帰納法を用いて， $J^n=\begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix}$ を示せ。

(3) $A^n=PJ^nP^{-1}$ を示し， $A^n$ を $n$ と $\lambda$ の式で表せ。

(4) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\lambda^{n-1}}A^n$ を求めよ。

题目描述

实数 $\lambda$ 满足 $\lambda\ne0$ 。对于三个矩阵

A=\begin{pmatrix}\lambda-2&1\\-4&\lambda+2\end{pmatrix},\quad P=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix},\quad J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},

回答以下问题。其中 $n$ 为自然数。

(1) 求逆矩阵 $P^{-1}$ ，并证明 $A=PJP^{-1}$ 。

(2) 用数学归纳法证明 $J^n=\begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix}$ 。

(3) 证明 $A^n=PJ^nP^{-1}$ ，并用 $n$ 和 $\lambda$ 的表达式表示 $A^n$ 。

(4) 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\lambda^{n-1}}A^n$ 。

Kai

(1)

\begin{gathered} P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix},\\ PJP^{-1}=\begin{pmatrix}\lambda-2&1\\-4&\lambda+2\end{pmatrix}=A. \end{gathered}

(2)

$n=1$ では明らかである。 $n=k$ で成り立つと仮定すると

\begin{gathered} J^{k+1}=J^kJ\\ =\begin{pmatrix}\lambda^k&k\lambda^{k-1}\\0&\lambda^k\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix}\lambda^{k+1}&(k+1)\lambda^k\\0&\lambda^{k+1}\end{pmatrix}. \end{gathered}

したがって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で成立する。

(3)

積の途中の $P^{-1}P$ が単位行列になるため、 $A^n=(PJP^{-1})^n=PJ^nP^{-1}$ 。よって

\boxed{A^n=\begin{pmatrix} \lambda^n-2n\lambda^{n-1}&n\lambda^{n-1}\\ -4n\lambda^{n-1}&\lambda^n+2n\lambda^{n-1} \end{pmatrix}}.

(4)

\frac{A^n}{n\lambda^{n-1}} =\begin{pmatrix}\lambda/n-2&1\\-4&\lambda/n+2\end{pmatrix} \longrightarrow\boxed{\begin{pmatrix}-2&1\\-4&2\end{pmatrix}}.

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