山形大学 理工学研究科 情報・エレクトロニクス専攻 2023年度 基礎科目 問題1

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• 山形大学
• 多元函数微分
• 二重积分
• 变量代换与雅可比行列式

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

$a>0$ とし、

$$f(x,y)=\frac{e^{-(x+y)}}{(x-y)^2+a^2}$$

とおく。$e$ は自然対数の底である。

(1) $\partial f/\partial x$ を求めよ。

(2) 領域 $D=\{(x,y)\mid 0\le x-y\le a,\ 0\le x+y\le a\}$ を、$u=x-y,\ v=x+y$ によって $uv$ 平面の領域 $E$ に移す。

$$I=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy$$

について次に答えよ。

(a) $E$ を図示せよ。

(b) ヤコビアン $\partial(x,y)/\partial(u,v)$ を求めよ。

(c) $I=\frac12\iint_E\frac{e^{-v}}{u^2+a^2}\,du\,dv$ を示し、$I$ を求めよ。

(d) $\lim_{a\to+0}I$ を求めよ。

题目描述

设 $a>0$，$f(x,y)=e^{-(x+y)}/((x-y)^2+a^2)$。

(1) 求对 $x$ 的偏导数。

(2) 对区域 $D=\{0\le x-y\le a,\ 0\le x+y\le a\}$ 作变换 $u=x-y,\ v=x+y$，像区域记为 $E$，并令 $I=\iint_D f\,dx\,dy$。

(a) 画出 $E$；(b) 求变换的雅可比行列式；(c) 证明 $I=\frac12\iint_E e^{-v}/(u^2+a^2)\,du\,dv$ 并求值；(d) 求 $a\to0^+$ 时 $I$ 的极限。

Kai

(1)

商の微分法より

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial x} =-\frac{e^{-(x+y)}\{(x-y)^2+a^2+2(x-y)\}}{\{(x-y)^2+a^2\}^2}}.$$

(2)

(a)

$E=\{(u,v)\mid 0\le u\le a,\ 0\le v\le a\}$ であり、境界を含む一辺 $a$ の正方形である。

(b)

$x=(u+v)/2,\ y=(v-u)/2$ より

$$\boxed{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}1/2&1/2\\-1/2&1/2\end{pmatrix}=\frac12}.$$

(c)

変数変換公式により

$$\begin{aligned} I&=\frac12\int_0^a e^{-v}\,dv\int_0^a\frac{du}{u^2+a^2}\\ &=\frac{1-e^{-a}}{2a}\left[\arctan\frac ua\right]_0^a =\boxed{\frac{\pi}{8a}(1-e^{-a})}. \end{aligned}$$

(d)

$1-e^{-a}=a+O(a^2)$ であるから

$$\boxed{\lim_{a\to+0}I=\frac\pi8}.$$

Reference

• 山形大学公式問題（PDF 4頁）
• Miyake：参考解答