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山形大学 理工学研究科 情報・エレクトロニクス専攻 2022年8月実施 基礎科目 問題1

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

aa を正の定数とする。2 変数関数

f(x,y)=e−(x+y)(x−y)2+a2f(x,y)=\frac{e^{-(x+y)}}{(x-y)^2+a^2}

について，次の問いに答えよ。ただし，ee は自然対数の底である。

(1) 偏導関数 ∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x} を求めよ。

(2) xyxy 平面上の領域 D={(x,y)∣0≤x−y≤a, 0≤x+y≤a}D=\{(x,y)\mid0\leq x-y\leq a,\ 0\leq x+y\leq a\} が，変数変換 u=x−yu=x-y，v=x+yv=x+y によって，uvuv 平面上の領域 EE に対応する。関数 f(x,y)f(x,y) の DD 上の 2 重積分を

I=∬Df(x,y) dx dyI=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy

とおく。

(a) uvuv 平面上に領域 EE を図示せよ。

(b) ヤコビアン ∂(x,y)∂(u,v)=∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂u\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial u} を求めよ。

(c) I=12∬Ee−vu2+a2 du dvI=\dfrac12\displaystyle\iint_E\frac{e^{-v}}{u^2+a^2}\,du\,dv となることを示し，II の値を求めよ。

(d) lim⁡a→+0I\displaystyle\lim_{a\to+0}I を求めよ。

题目描述​

设 aa 为正常数。对于二元函数

f(x,y)=e−(x+y)(x−y)2+a2,f(x,y)=\frac{e^{-(x+y)}}{(x-y)^2+a^2},

回答以下问题，其中 ee 为自然对数的底。

(1) 求偏导函数 ∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x}。

(2) xyxy 平面上的区域 D={(x,y)∣0≤x−y≤a, 0≤x+y≤a}D=\{(x,y)\mid0\leq x-y\leq a,\ 0\leq x+y\leq a\} 通过变量代换 u=x−yu=x-y、v=x+yv=x+y 对应到 uvuv 平面上的区域 EE。记函数 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上的二重积分为

I=∬Df(x,y) dx dy.I=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy.

(a) 在 uvuv 平面上画出区域 EE。

(b) 求雅可比行列式 ∂(x,y)∂(u,v)=∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂u\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial u}。

(c) 证明 I=12∬Ee−vu2+a2 du dvI=\dfrac12\displaystyle\iint_E\frac{e^{-v}}{u^2+a^2}\,du\,dv，并求 II 的值。

(d) 求 lim⁡a→+0I\displaystyle\lim_{a\to+0}I。

Kai​

(1)​

商の微分法より

∂f∂x=−e−(x+y){(x−y)2+a2+2(x−y)}{(x−y)2+a2}2.\boxed{\frac{\partial f}{\partial x} =-\frac{e^{-(x+y)}\{(x-y)^2+a^2+2(x-y)\}}{\{(x-y)^2+a^2\}^2}}.

(2)​

(a)​

E={(u,v)∣0≤u≤a, 0≤v≤a}E=\{(u,v)\mid 0\le u\le a,\ 0\le v\le a\} であり、境界を含む一辺 aa の正方形である。

変換後の積分領域

(b)​

x=(u+v)/2, y=(v−u)/2x=(u+v)/2,\ y=(v-u)/2 より

∂(x,y)∂(u,v)=det⁡(1/21/2−1/21/2)=12.\boxed{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}1/2&1/2\\-1/2&1/2\end{pmatrix}=\frac12}.

(c)​

変数変換公式により

I=12∫0ae−v dv∫0aduu2+a2=1−e−a2a[arctan⁡ua]0a=π8a(1−e−a).\begin{aligned} I&=\frac12\int_0^a e^{-v}\,dv\int_0^a\frac{du}{u^2+a^2}\\ &=\frac{1-e^{-a}}{2a}\left[\arctan\frac ua\right]_0^a =\boxed{\frac{\pi}{8a}(1-e^{-a})}. \end{aligned}

(d)​

1−e−a=a+O(a2)1-e^{-a}=a+O(a^2) であるから

lim⁡a→+0I=π8.\boxed{\lim_{a\to+0}I=\frac\pi8}.

Reference​

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