早稲田大学 基幹理工学研究科 材料科学専攻 2023年8月実施 物理 [2]

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• 早稻田大学
• 拉格朗日力学
• 循环坐标与动量守恒
• 小角度单摆

Author

Miyake

Description

問題の要約 — 大学公表問題

問1

$x$ 軸を中心軸とする半径 $\alpha$ の半円筒面の内側で、質量 $m$ の質点が動く。重力は $-z$ 向きで、摩擦と空気抵抗は無視する。軸から質点への線分と鉛直下向きとの角を $\theta$ とする。

1. 位置 $(x,y,z)$ を $x,\theta$ で表す。
2. ラグランジアンを求める。
3. ラグランジュ方程式を書く。

$y=\alpha\sin\theta,\ z=-\alpha\cos\theta$ が角度の向きの規約を定める。

問2（一般の曲線に対する題意）

質点は $xy$ 平面内の指定された曲線上のみを動き、重力は $-y$ 向きとする。(1) $x$ を一般化座標にしたラグランジアン、(2) 共役運動量とハミルトニアン、(3) 正準方程式を求め、(4) ラグランジュ方程式との同値性を示す。

题目描述

【问题 1】

质量为 $m$ 的质点在以 $x$ 轴为轴线、半径为 $\alpha$ 的半圆柱面内侧运动。重力指向 $-z$，忽略摩擦和空气阻力。以轴到质点的连线相对竖直向下方向的夹角 $\theta$ 为广义坐标之一，方向约定为 $y=\alpha\sin\theta,\ z=-\alpha\cos\theta$。

1. 用 $x,\theta$ 写出质点的笛卡尔坐标。
2. 求 $L(x,\theta,\dot x,\dot\theta)$。
3. 对 $x,\theta$ 写出 Lagrange 方程与运动方程。

【问题 2】

质点被约束在 $xy$ 平面内的一条指定曲线上，重力指向 $-y$。以 $x$ 为广义坐标，求 Lagrangian、共轭动量和 Hamiltonian，写出 Hamilton 正则方程，并证明它们与 Lagrange 方程等价。

Kai

時刻を $t$ で表し、微分 $d/dt$ をドット $\dot{}$ で表す。

問 1

(1)

$$\begin{align} x = x , \ \ y = \alpha \sin \theta , \ \ z = - \alpha \cos \theta \end{align}$$

(2)

$$\begin{align} \dot{y} = \alpha \dot{\theta} \cos \theta , \ \ \dot{z} = \alpha \dot{\theta} \sin \theta \end{align}$$

なので、求めるラグランジアンは

$$\begin{align} L \left( x, \theta, \dot{x}, \dot{\theta} \right) &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2\ + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) - mgz \\ &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2\ + \alpha^2 \dot{\theta}^2 \right) + mg \alpha \cos \theta \end{align}$$

である。

(3)

$$\begin{align} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} &= \frac{d}{dt} m \dot{x} = m \ddot{x} ,\\ \frac{\partial L}{\partial x} &= 0 ,\\ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} &= \frac{d}{dt} m \alpha^2 \dot{\theta} = m \alpha^2 \ddot{\theta} ,\\ \frac{\partial L}{\partial \theta} &= - mg \alpha \sin \theta \end{align}$$

なので、ラグランジュ方程式は

$$\begin{align} \ddot{x} = 0 , \ \ \alpha \ddot{\theta} = - g \sin \theta \end{align}$$

となる。

問 2

曲線を $y=h(x)$ と書ける範囲で、$h$ が2回微分可能であると仮定する。

(1)

$$L=\frac m2\{1+h'(x)^2\}\dot x^2-mgh(x).$$

(2)

$$p=m\{1+h'(x)^2\}\dot x,\qquad H=\frac{p^2}{2m\{1+h'(x)^2\}}+mgh(x).$$

(3)

$$\dot x=\frac{p}{m(1+h'^2)},\qquad \dot p=\frac{p^2h'h''}{m(1+h'^2)^2}-mgh'.$$

(4)

ラグランジュ方程式は

$$m(1+h'^2)\ddot x+mh'h''\dot x^2+mgh'=0.$$

一方、$p=m(1+h'^2)\dot x$ を微分し、正準方程式に代入しても同じ式を得る。