早稲田大学基幹理工学研究科材料科学専攻 2023年8月実施物理 [2]

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缺失边界：原 Description 及本地 Git 历史均未保存题干和配图。Kai 只含问 1 的 (1)—(3)，问 2 只有空标题；原系统的几何名称以及问 2 的条件和设问均无法恢复。以下仅整理问 1 中由公式唯一确认的内容。

以 $t$ 表示时间，并以点号 $\dot{\ }$ 表示 $d/dt$ 。质量为 $m$ 的质点以 $x,\theta$ 为广义坐标，其笛卡尔坐标满足

x=x,\qquad y=\alpha\sin\theta,\qquad z=-\alpha\cos\theta,

其中 $\alpha$ 为给定长度参数，重力加速度为 $g$ 。回答问 1：

拉格朗日力学：把约束坐标 $y=\alpha\sin\theta$ 、 $z=-\alpha\cos\theta$ 代入速度、动能与重力势能，构造二自由度系统的 $L=T-U$ 。
循环坐标与守恒动量：拉格朗日量不显含 $x$ ，因此其共轭动量 $p_x=m\dot x$ 守恒，并导出 $\ddot x=0$ 。
摆的非线性运动：对 $\theta$ 应用欧拉—拉格朗日方程，可得到 $\alpha\ddot\theta=-g\sin\theta$ 。

時刻を $t$ で表し、微分 $d/dt$ をドット $\dot{}$ で表す。

\begin{align} x = x , \ \ y = \alpha \sin \theta , \ \ z = - \alpha \cos \theta \end{align}

\begin{align} \dot{y} = \alpha \dot{\theta} \cos \theta , \ \ \dot{z} = \alpha \dot{\theta} \sin \theta \end{align}

なので、求めるラグランジアンは

\begin{align} L \left( x, \theta, \dot{x}, \dot{\theta} \right) &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2\ + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) - mgz \\ &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2\ + \alpha^2 \dot{\theta}^2 \right) + mg \alpha \cos \theta \end{align}

である。

\begin{align} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} &= \frac{d}{dt} m \dot{x} = m \ddot{x} ,\\ \frac{\partial L}{\partial x} &= 0 ,\\ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} &= \frac{d}{dt} m \alpha^2 \dot{\theta} = m \alpha^2 \ddot{\theta} ,\\ \frac{\partial L}{\partial \theta} &= - mg \alpha \sin \theta \end{align}

なので、ラグランジュ方程式は

\begin{align} \ddot{x} = 0 , \ \ \alpha \ddot{\theta} = - g \sin \theta \end{align}

となる。