早稲田大学 基幹理工学研究科 数学応用数理専攻 2023年8月実施 線形代数 [2]

Author

Miyake

Description

Kai

1.

任意の について

となる が存在し、 この について

が成り立つ。 また、任意の について なので、

が成り立つ。 よって、 で定まる線形変換は から への正射影である。

2.

(1)

の固有値を とすると、

である。

(i) 固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 なので、この固有値に属する固有空間 は2次元であり、 基底として例えば

がある。 そこで、

とすると、 は の正規直交基底である。

(ii) 固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 なので、この固有値に属する固有空間 は2次元であり、 基底として例えば

がある。 そこで、

とすると、 は の正規直交基底である。

(i), (ii) より、

とおくと、これは を対角化する直交行列である。

(2)

を (1) の通りとする。 のそれぞれへの正射影 は

である。

(3)

を (2) の通りとすると、

が成り立つ。