早稲田大学 基幹理工学研究科 数学応用数理専攻 2023年8月実施 線形代数 [2]

标签：

• Waseda-University
• Projection-Operator
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Gram-Schmidt-Orthogonalization
• Orthogonal-Matrix
• Matrix-Diagonalization

Author

Miyake

Description

题目描述

缺失边界：原 Description 及本地 Git 历史均未保存题干。以下各项均由现有 Kai 的定义、矩阵和小问结构唯一恢复；除此之外没有补充原题未保存的条件。

1. 设 $W$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的 $k$ 维子空间，$\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_k$ 是 $W$ 的一组标准正交基。定义

   $$P=\sum_{j=1}^k\boldsymbol{w}_j\boldsymbol{w}_j^T.$$

   证明由矩阵 $P$ 定义的线性变换是从 $\mathbb{R}^n$ 到 $W$ 的正交投影。

2. 给定实对称矩阵

   $$A= \begin{pmatrix} 0&1&0&-1\\ 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ -1&0&1&0 \end{pmatrix}.$$

   回答：

   1. 求 $A$ 的特征值及各特征空间的标准正交基，并求一个将 $A$ 对角化的正交矩阵 $Q$。
   2. 设两个特征值分别为 $\lambda_1,\lambda_2$，相应特征空间为 $W_1,W_2$。求到 $W_1,W_2$ 的正交投影矩阵 $P_1,P_2$。
   3. 用 $\lambda_1,\lambda_2,P_1,P_2$ 表示矩阵 $A$。

考点

• 投影算子：利用标准正交基构造 $P=\sum_j\boldsymbol{w}_j\boldsymbol{w}_j^T$，分别验证它在 $W$ 上为恒等映射、在 $W^\perp$ 上为零。
• 特征值与特征向量：计算给定四阶实对称矩阵的特征多项式，并处理两个二重特征值所对应的二维特征空间。
• Gram–Schmidt 正交化：在每个二维特征空间内把线性无关的特征向量化为标准正交基。
• 正交矩阵与正交对角化：把不同特征空间的标准正交基向量组成 $Q$，利用实对称矩阵的谱性质实现对角化。
• 谱投影与矩阵谱分解：由各特征空间的标准正交基求 $P_1,P_2$，再写出 $A=\lambda_1P_1+\lambda_2P_2$。

Kai

1.

任意の $\boldsymbol{w} \in W$ について

$$\begin{aligned} \boldsymbol{w} = \sum_{i=1}^k a_i \boldsymbol{w}_i \end{aligned}$$

となる $a_1, a_2, \cdots, a_k \in \mathbb{R}$ が存在し、 この $\boldsymbol{w}$ について

$$\begin{aligned} P \boldsymbol{w} &= \sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^k a_i \boldsymbol{w}_j \boldsymbol{w}_j^T \boldsymbol{w}_i \\ &= \sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^k a_i \boldsymbol{w}_j \delta_{ij} \ \ \ \ \ \ \ \ ( \delta_{ij} \text{ はクロネッカーのデルタ } ) \\ &= \sum_{i=1}^k a_i \boldsymbol{w}_i \\ &= \boldsymbol{w} \end{aligned}$$

が成り立つ。 また、任意の $\boldsymbol{w}' \in W^\perp$ について $\boldsymbol{w}_j^T \boldsymbol{w}' = 0 \ \ (j=1,2,\cdots,k)$ なので、

$$\begin{aligned} P \boldsymbol{w}' &= \sum_{j=1}^k \boldsymbol{w}_j \boldsymbol{w}_j^T \boldsymbol{w}' \\ &= \boldsymbol{0} \end{aligned}$$

が成り立つ。 よって、 $P$ で定まる線形変換は $\mathbb{R}^n$ から $W$ への正射影である。

2.

(1)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \left( A - \lambda I \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( I \text{ は4次単位行列 } ) \\ &= \lambda^4 - 4 \lambda^2 + 4 \\ &= \left( \lambda + \sqrt{2} \right)^2 \left( \lambda - \sqrt{2} \right)^2 \\ \therefore \ \ \lambda &= \pm \sqrt{2} \end{aligned}$$

である。

(i) 固有値 $\lambda_1 = - \sqrt{2}$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & 0 & -1 \\ 1 & \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} & 1 \\ -1 & 0 & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $a = c + \sqrt{2} d , \ b = - \sqrt{2} c - d$ なので、この固有値に属する固有空間 $W_1$ は2次元であり、 基底として例えば

$$\begin{aligned} \boldsymbol{u}_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{u}_{12} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

がある。 そこで、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_{11} &= \frac{\boldsymbol{u}_{11}}{\left| \boldsymbol{u}_{11} \right|} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_{12}' &= \boldsymbol{u}_{12} - \left( \boldsymbol{v}_{11} \cdot \boldsymbol{u}_{12} \right) \boldsymbol{v}_{11} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_{12} &= \frac{\boldsymbol{v}_{12}'}{\left| \boldsymbol{v}_{12}' \right|} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とすると、 $\boldsymbol{v}_{11}, \boldsymbol{v}_{12}$ は $W_1$ の正規直交基底である。

(ii) 固有値 $\lambda_2 = \sqrt{2}$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} - \sqrt{2} & 1 & 0 & -1 \\ 1 & - \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \sqrt{2} & 1 \\ -1 & 0 & 1 & - \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $a = c - \sqrt{2} d , \ b = \sqrt{2} c - d$ なので、この固有値に属する固有空間 $W_2$ は2次元であり、 基底として例えば

$$\begin{aligned} \boldsymbol{u}_{21} = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{u}_{22} = \begin{pmatrix} - \sqrt{2} \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

がある。 そこで、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_{21} &= \frac{\boldsymbol{u}_{21}}{\left| \boldsymbol{u}_{21} \right|} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_{22}' &= \boldsymbol{u}_{22} - \left( \boldsymbol{v}_{21} \cdot \boldsymbol{u}_{22} \right) \boldsymbol{v}_{21} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{v}_{22} &= \frac{\boldsymbol{v}_{22}'}{\left| \boldsymbol{v}_{22}' \right|} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とすると、 $\boldsymbol{v}_{21}, \boldsymbol{v}_{22}$ は $W_2$ の正規直交基底である。

(i), (ii) より、

$$\begin{aligned} Q &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_{11} & \boldsymbol{v}_{12} & \boldsymbol{v}_{21} & \boldsymbol{v}_{22} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ - \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、これは $A$ を対角化する直交行列である。

(2)

$\lambda_1, \lambda_2, W_1, W_2, \boldsymbol{v}_{11}, \boldsymbol{v}_{12}, \boldsymbol{v}_{21}, \boldsymbol{v}_{22}$ を (1) の通りとする。 $W_1, W_2$ のそれぞれへの正射影 $P_1, P_2$ は

$$\begin{aligned} P_1 &= \boldsymbol{v}_{11} \boldsymbol{v}_{11}^T + \boldsymbol{v}_{12} \boldsymbol{v}_{12}^T \\ &= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} & 2 & - \sqrt{2} & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 2 & - \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} & 2 \end{pmatrix} ,\\ P_2 &= \boldsymbol{v}_{21} \boldsymbol{v}_{21}^T + \boldsymbol{v}_{22} \boldsymbol{v}_{22}^T \\ &= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & \sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 2 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 2 & \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(3)

$\lambda_1, \lambda_2, P_1, P_2$ を (2) の通りとすると、

$$\begin{aligned} A = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2 \end{aligned}$$

が成り立つ。