早稲田大学 基幹理工学研究科 機械科学・航空宇宙専攻 2023年8月実施 力学 [2]

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• Waseda-University

Author

Miyake

Description

問題の要約 — 大学公表問題の力学・問題2

長さがともに $L$ の質量のない糸で、上から質量 $m,M$ の二つの質点を吊るす。固定点を原点、右向きを $x$、上向きを $y$ とし、鉛直下向きからの二本の糸の角をそれぞれ $\theta_1,\theta_2$ とする。糸はたるまず、摩擦はなく、重力加速度は $g$ である。

1. 二質点の座標を角度で表す。
2. 上下の糸の張力を $T_1,T_2$ としてニュートンの運動方程式を書く。
3. 以下は微小振動とする。張力の主要項を求め、角度に関する線形運動方程式を導く。
4. 同じ振動数の調和振動を代入して、振幅 $A_1,A_2$ の方程式を書く。
5. 非零の振幅を持つ条件を示す。
6. 固有角振動数と各振幅比を求める。
7. 各モードの動きを図で説明する。

题目描述

用两条长度均为 $L$ 的无质量绳，将质量分别为 $m,M$ 的两质点从上到下串联悬挂。固定点为原点，$x$ 轴向右、$y$ 轴向上，两条绳相对竖直向下方向的角度分别为 $\theta_1,\theta_2$。绳始终绷紧，无摩擦，重力加速度为 $g$。

1. 用角度表示两个质点的坐标。
2. 设上下两条绳的张力分别为 $T_1,T_2$，写出 Newton 运动方程。
3. 在微小振动近似下，求张力的主要项，并导出角度的线性运动方程。
4. 代入同频简谐振动，写出振幅 $A_1,A_2$ 满足的方程。
5. 给出存在非零振幅解的条件。
6. 求固有角频率和各模态的振幅比。
7. 结合示意图说明两种正常模态的运动。

Kai

以下は補充した解答である。既存の参考文献は末尾に残した。$m,M,L,g>0$ とする。

(1)

$$\begin{aligned} x_1&=L\sin\theta_1,&y_1&=-L\cos\theta_1,\\ x_2&=L(\sin\theta_1+\sin\theta_2),&y_2&=-L(\cos\theta_1+\cos\theta_2). \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} m\ddot x_1&=-T_1\sin\theta_1+T_2\sin\theta_2,\\ m\ddot y_1&=T_1\cos\theta_1-T_2\cos\theta_2-mg,\\ M\ddot x_2&=-T_2\sin\theta_2,\\ M\ddot y_2&=T_2\cos\theta_2-Mg. \end{aligned}$$

(3)

一次の微小振動では鉛直加速度が零なので、張力の主要項は

$T_1=(m+M)g,\qquad T_2=Mg.$

水平の式に代入すると

$$\begin{aligned} mL\ddot\theta_1+(m+M)g\theta_1-Mg\theta_2&=0,\\ L(\ddot\theta_1+\ddot\theta_2)+g\theta_2&=0. \end{aligned}$$

これらは対称な形では

$$L\begin{pmatrix}m+M&M\\M&M\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ddot\theta_1\\\ddot\theta_2\end{pmatrix} +g\begin{pmatrix}m+M&0\\0&M\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\theta_1\\\theta_2\end{pmatrix}=0$$

と書ける。張力は有限振幅では一定でなく、上式は一次近似である。

(4)

$\theta_j=\operatorname{Re}\{A_j e^{i(\omega t-\phi)}\}$ を代入すると

$$\begin{pmatrix} (m+M)g-mL\omega^2&-Mg\\ -L\omega^2&g-L\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_1\\A_2\end{pmatrix}=0.$$

(5)

係数行列の行列式が零であること、すなわち

$mL^2\omega^4-2(m+M)gL\omega^2+(m+M)g^2=0$

が必要十分である。

(6)

正の固有角振動数は

$$\omega_\mp=\sqrt{\frac gL\frac{m+M\mp\sqrt{M(m+M)}}m}.$$

$\rho=\sqrt{(m+M)/M}>1$ と置くと、対応する振幅比は

$$\omega_-:\ A_2=\rho A_1,\qquad \omega_+:\ A_2=-\rho A_1.$$

負の $\omega$ は同じ実振動を逆向きの複素表示にしたもので、独立なモードではない。

(7)

低い振動数のモードでは二本の糸が同じ方向へ傾き、高い振動数のモードでは逆方向へ傾く。微小角では

$x_1\simeq L\theta_1,\qquad x_2\simeq L(\theta_1+\theta_2).$

従って $A_1>0$ の最大変位時、低振動数では $x_2=(1+\rho)x_1$、高振動数では $x_2=(1-\rho)x_1<0$ となる。上図のモードは例として $m=M$、従って $\rho=\sqrt2$ として描いたもので、各位置から平衡点を挟んで左右に振動する。

既存の参考文献

後藤ら「詳解 力学演習」§11 問題[1]