早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2024年8月実施 概率统计

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• Expectation-and-Variance
• Poisson-Distribution

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

確率変数Xがポアソン分布に従うとする。ポアソン分布の確率関数は次の通りである。

$$p(x) = \frac{\lambda^x}{x!} \exp(-\lambda)$$

このとき、期待値 $E[X(X-1)]$ を求めよ。

题目描述

设随机变量 $X$ 服从泊松分布，其概率质量函数为

$$p(x)=\frac{\lambda^x}{x!}\exp(-\lambda), \qquad x=0,1,2,\ldots.$$

求阶乘矩

$$E[X(X-1)].$$

Kai

解：

$$E[X(X-1)] = \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) p(x)$$

$$= \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda}$$

注意： $x=0$ と $x=1$ の時、 $x(x-1)=0$ 。だから、和は $x=2$ から始まる。

$$= \sum_{x=2}^{\infty} x(x-1) \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda}$$

$$= e^{-\lambda} \sum_{x=2}^{\infty} \frac{x(x-1) \lambda^x}{x(x-1)(x-2)!}$$

$$= e^{-\lambda} \sum_{x=2}^{\infty} \frac{\lambda^x}{(x-2)!}$$

$$= e^{-\lambda} \lambda^2 \sum_{x=2}^{\infty} \frac{\lambda^{x-2}}{(x-2)!}$$

$y=x-2$ とおくと、 $x=2$ の時、 $y=0$ 。だから、和は $y=0$ から始まる。

$$= e^{-\lambda} \lambda^2 \sum_{y=0}^{\infty} \frac{\lambda^y}{y!}$$

$$= e^{-\lambda} \lambda^2 e^{\lambda}$$

$$= \lambda^2$$

したがって、

$$E[X(X-1)] = \lambda^2$$