早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2024年8月実施 概率统计

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

あるコインの表が出る確率を $P$ , 裏が出る確率を $1-P$ とする。帰無仮説を $H_0: P = 0.5$ , 対立仮説を $H_1: P \neq 0.5$ と設定した検定を考える。このコインを4回投げるとき, 「4回とも表」または「4回とも裏」だった場合に帰無仮説を棄却するという検定方式を採用する。このとき, 有意水準を求めよ。また, $P = 0.8$ のとき検出力を求めよ。

题目描述

某硬币正面朝上的概率为 $P$，反面朝上的概率为 $1-P$。考虑假设检验

$$H_0:P=0.5,\qquad H_1:P\neq0.5.$$

将硬币投掷 $4$ 次；若结果为“$4$ 次全是正面”或“$4$ 次全是反面”，则拒绝 $H_0$。求该检验的显著性水平，并求 $P=0.8$ 时的检验功效。

Kai

有意水準 $\alpha$ は, $H_0$ が正しいとき (つまり $P = 0.5$ のとき) に帰無仮説を棄却する確率である。\ 4回とも表となる確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ \ 4回とも裏となる確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ \ したがって, 有意水準は $\alpha = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0.125$ \ 次に, $P = 0.8$ のときの検出力を求める。検出力は, $H_1$ が正しいとき (つまり $P = 0.8$ のとき) に帰無仮説を棄却する確率である。\ 4回とも表となる確率は $(0.8)^4 = 0.4096$ \ 4回とも裏となる確率は $(0.2)^4 = 0.0016$ \ したがって, 検出力は $0.4096 + 0.0016 = 0.4112$ \ まとめると、 有意水準: 0.125 検出力 (P=0.8): 0.4112