早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2024年8月実施 微积分

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• Integration

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

関数 $z = f(x, y) = x^4 + y^4 - 9(x+y)^2$ に対し、関数の停留点と極値を全て求めよ。

题目描述

对函数

$$z=f(x,y)=x^4+y^4-9(x+y)^2,$$

求出全部驻点，并确定所有极值。

Kai

首先，求偏导数：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 - 18(x+y)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - 18(x+y)$$

令偏导数为0，得到方程组：

$$4x^3 - 18(x+y) = 0$$

$$4y^3 - 18(x+y) = 0$$

因此， $4x^3 = 4y^3$ ，得到 $x = y$ 。 将 $x = y$ 代入第一个方程：

$$4x^3 - 18(x+x) = 0$$

$$4x^3 - 36x = 0$$

$$4x(x^2 - 9) = 0$$

$$4x(x-3)(x+3) = 0$$

所以，x = 0, x = 3, x = -3 对应的 y 值也相等，所以得到三个驻点：(0, 0), (3, 3), (-3, -3)

接下来，求二阶偏导数：

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2 - 18$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12y^2 - 18$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -18$$

令 $A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ ，计算 $AC - B^2$

对于 $(0, 0)$ : $A = -18$ , $B = -18$ , $C = -18$ , $AC - B^2 = (-18)(-18) - (-18)^2 = 0$ , 无法确定极值。 对于 $(3, 3)$ : $A = 12(3^2) - 18 = 108 - 18 = 90$ , $B = -18$ , $C = 90$ , $AC - B^2 = (90)(90) - (-18)^2 = 8100 - 324 = 7776 > 0$ , $A > 0$ , 所以 $(3, 3)$ 是极小值点, 极小值为 $f(3,3) = 3^4 + 3^4 - 9(3+3)^2 = 81 + 81 - 9(36) = 162 - 324 = -162$ 。 对于 $(-3, -3)$ : $A = 12(-3)^2 - 18 = 108 - 18 = 90$ , $B = -18$ , $C = 90$ , $AC - B^2 = (90)(90) - (-18)^2 = 8100 - 324 = 7776 > 0$ , $A > 0$ , 所以 $(-3, -3)$ 是极小值点, 极小值为 $f(-3,-3) = (-3)^4 + (-3)^4 - 9(-3-3)^2 = 81 + 81 - 9(36) = 162 - 324 = -162$ 。

对于 $(0,0)$ ，需要进一步分析。沿 $y=0$ ，

$$f(x,0)=x^4-9x^2<0\qquad(0<|x|<3),$$

而沿 $y=-x$ ，

$$f(x,-x)=2x^4>0\qquad(x\ne0).$$

因此任意小的原点邻域内都有正值和负值，故 $(0,0)$ 是鞍点。

此外，

$$x^4+y^4-9(x+y)^2 \geq\frac12(x^2+y^2)^2-18(x^2+y^2)\longrightarrow+\infty$$

当 $x^2+y^2\to\infty$ 。所以两个极小值点 $(3,3)$ 和 $(-3,-3)$ 也是全局最小值点，全局最小值为 $\boxed{-162}$ ；不存在极大值。