早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2023年8月実施 概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

A君は1回目の校内模擬テストの成績が60点、2回目の校内模擬テストの成績が65点だった。1回目の全体の平均(average)は55.0点, 標準偏差(standard deviation)が5.0点, 2回目の全体の平均は60.0点, 標準偏差が4.0点だった。また、いずれの得点の確率分布(probability distribution)は正規分布(normal distribution)に従っているとみなすことができる。このとき、A君の得点よりも上位にいる人数は、1回目と2回目でどちらが多いか。また、その理由を述べよ。

题目描述

A 同学第一次校内模拟考试得 $60$ 分，第二次得 $65$ 分。第一次考试全体成绩的均值为 $55.0$ 分、标准差为 $5.0$ 分；第二次的均值为 $60.0$ 分、标准差为 $4.0$ 分。两次成绩分布均可视为正态分布。

比较两次考试中成绩高于 A 同学的人数哪一次更多，并说明理由。原题没有给出两次考试的总人数；因此，可由现有条件唯一比较的是高于 A 同学的比例。若两次参考总人数相同，才能据此直接比较绝对人数；若人数不同，则还需各次总人数才能判断。

Kai

まず、それぞれのテストにおけるA君の標準化得点（zスコア）を計算します。

1回目のテスト：

$$z_1 = \frac{60 - 55}{5} = \frac{5}{5} = 1$$

2回目のテスト：

$$z_2 = \frac{65 - 60}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$$

標準化得点は、平均からどれだけ標準偏差分離れているかを示します。A君の1回目のテストの標準化得点は1.0であり、2回目のテストの標準化得点は1.25です。

正規分布において、標準化得点が高いほど、上位に位置することになります。したがって、A君は2回目のテストの方がより上位に位置しています。

上位にいる人数は、標準化得点が高いほど少なくなります。なぜなら、正規分布は平均値付近に多くのデータが集まっており、平均から離れるほどデータが少なくなるからです。

結論： 2回目のテストの方がA君の標準化得点が高いため、A君よりも上位にいる人数は1回目の方が多いです。

理由： A君の2回目のテストの標準化得点の方が、1回目のテストの標準化得点よりも高いため。