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早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2023年8月実施 线性代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

次の行列(matrix) AA の階数(rank)を求め、行列 AA が正則(non-singular)かどうかを判定せよ。また正則(non-singular)な場合には逆行列(inverse matrix) A−1A^{-1} を求めよ。

A=(112213315)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \end{pmatrix}

题目描述​

给定矩阵

A=(112213315).A=\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 2&1&3\\ 3&1&5 \end{pmatrix}.

求 AA 的秩，判断 AA 是否可逆；若可逆，再求 A−1A^{-1}。

Kai​

まず行列 AA の行列式を計算します。

det⁡(A)=∣112213315∣=1(5−3)−1(10−9)+2(2−3)=2−1−2=−1\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 1(5-3) - 1(10-9) + 2(2-3) = 2 - 1 - 2 = -1

行列式が0ではないので、行列 AA は正則(non-singular)です。したがって、逆行列 A−1A^{-1} が存在します。

次に、余因子行列を求めます。

C11=∣1315∣=5−3=2C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 3 = 2 C12=−∣2335∣=−(10−9)=−1C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = -(10 - 9) = -1 C13=∣2131∣=2−3=−1C_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1 C21=−∣1215∣=−(5−2)=−3C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = -(5 - 2) = -3 C22=∣1235∣=5−6=−1C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 6 = -1 C23=−∣1131∣=−(1−3)=2C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 3) = 2 C31=∣1213∣=3−2=1C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 C32=−∣1223∣=−(3−4)=1C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 4) = 1 C33=∣1121∣=1−2=−1C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1

余因子行列は

cof(A)=(2−1−1−3−1211−1)\text{cof}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

随伴行列は余因子行列の転置です。

adj(A)=cof(A)T=(2−31−1−11−12−1)\text{adj}(A) = \text{cof}(A)^T = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}

逆行列は

A−1=1det⁡(A)adj(A)=1−1(2−31−1−11−12−1)=(−23−111−11−21)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

行列の階数は3です。

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