早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2023年8月実施微积分

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思齐塾, 祭音Myyura

$xy$ 平面上の曲線 $x^3 + y^3 = 1$ の点 $\left( \frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)$ における接線(tangent line)の方程式(equation)を求めよ。

求平面曲线

x^3+y^3=1

在点

\left(\frac1{\sqrt[3]{2}},\frac1{\sqrt[3]{2}}\right)

处的切线方程。

曲線を陰関数表示された関数として、微分して接線の傾きを求める。

x^3 + y^3 = 1

両辺を $x$ で微分すると、

3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0

\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{y^2}

点 $\left( \frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)$ における接線の傾きは、

\frac{dy}{dx} = -\frac{(\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2}{(\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2} = -1

したがって、接線の方程式は、

y - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = -1 \left( x - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)

y = -x + \frac{2}{\sqrt[3]{2}}

y = -x + 2^{2/3}