早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2022年8月実施 概率统计

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• Waseda-University
• Poisson-Distribution

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

ポアソン分布 (Poisson distribution) について説明せよ。

题目描述

说明泊松分布，包括其概率质量函数、参数含义、主要数字特征以及适用的随机计数情形。

Kai

ポアソン分布は、指定された期間または場所において、イベントが発生する回数をモデル化する離散確率分布です。

定義 ポアソン分布は、パラメータ $\lambda > 0$ によって特徴付けられます。これは、イベントが発生する平均回数（またはレート）を表します。確率変数 $X$ がポアソン分布に従う場合、 $X$ が値 $k$ （ $k$ は非負整数）を取る確率は次の式で与えられます。

$$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$

ここで:

• $e$ はネイピア数 ( $e \approx 2.71828$ )
• $k!$ は $k$ の階乗

特性

• 平均 (Mean): $\mu = \lambda$
• 分散 (Variance): $\sigma^2 = \lambda$
• 標準偏差 (Standard Deviation): $\sigma = \sqrt{\lambda}$

利用可能なケース ポアソン分布は、イベントが次の特性を持つ場合に適切です。

1. イベントはランダムかつ独立して発生します。
2. イベントが発生する平均レートは既知であり、一定です。
3. イベントが同時に2回以上発生する確率は無視できます。

例

• 1時間あたりにウェブサイトにアクセスするユーザー数
• 1分あたりにかかってくる電話の数
• 1ページに含まれる印刷上の誤りの数
• 一定時間内に発生する事故の数
• 単位面積あたりに生息する植物の数

導出の背景 二項分布において、試行回数 $n$ が非常に大きく、各試行が成功する確率 $p$ が非常に小さい場合、すなわち、 $n \to \infty$ かつ $p \to 0$ のとき、二項分布はポアソン分布で近似できます。ここで、 $\lambda = np$ となります。