早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2022年8月実施概率统计

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思齐塾, 祭音Myyura

次の確率密度関数 (probability density function) を考える。

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & 0 < x < 2 \\ 0 & \text{上記以外} \end{cases}

この確率分布 (probability distribution) に従う確率変数 (random variable) $X$ の期待値 (expectation) $E(X)$ と分散 (variance) $V(X)$ を求めよ。

概率密度函数为

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{2},&0<x<2,\\ 0,&\text{其他情形}. \end{cases}

若随机变量 $X$ 服从该分布，求期望 $E(X)$ 和方差 $V(X)$ 。

まず、期待値 $E(X)$ を求めます。

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

次に、 $E(X^2)$ を求めます。

E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^3 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{4} = 2

最後に、分散 $V(X)$ を求めます。

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2 - \left( \frac{4}{3} \right)^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18 - 16}{9} = \frac{2}{9}

したがって、 $E(X) = \frac{4}{3}$ 、 $V(X) = \frac{2}{9}$ 。