早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2022年8月実施 数理基礎

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• Waseda-University
• Logarithmic-Differentiation
• Integration-by-Parts
• Quadratic-Form

Author

Miyake

Description

题目描述

题面缺失边界：本文件在此中文子树之前没有保留原始 Description。Kai 仅给出 A1、A2、A3 的解答，并只留下空的 B、C 标题；frontmatter 的三个主题标签也只对应这三问。因此，下列内容仅恢复 Kai 可唯一确定的 A 部分。B、C 的题干、条件、公式及小问均无法从现有材料确定，不作补写。

恢复出的 A 部分如下：

1. 设 $x>0$，对函数

   $$f(x)=\left(\frac1{2x}\right)^x$$

   求导。

2. 计算定积分

   $$\int_2^3\frac{\log x}{(x-1)^2}\,dx.$$

3. 求原点到曲线

   $$x^2+xy+y^2=3$$

   的最短距离与最长距离。

Kai

$$A$$

$$小問 A1$$

$x \gt 0$ のとき $f(x) \gt 0$ であり、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} f(x) &= \left( \frac{1}{2x} \right)^x \\ \log f(x) &= - x \log 2x \\ \frac{f'(x)}{f(x)} &= - \log 2x - 1 \\ \therefore \ \ f'(x) &= - f(x) \left( \log 2x + 1 \right) \\ &= - \left( \frac{1}{2x} \right)^x \left( \log 2x + 1 \right) \end{aligned}$$

$$小問 A2$$

$$\begin{aligned} \int_2^3 \frac{\log x}{(x-1)^2} dx &= \left[ - \frac{\log x}{x-1} \right]_2^3 + \int_2^3 \frac{1}{x(x-1)} dx \\ &= - \frac{\log 3}{2} + \log 2 + \int_2^3 \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right) dx \\ &= - \frac{\log 3}{2} + \log 2 + \left[ \log (x-1) - \log x \right]_2^3 \\ &= - \frac{3}{2} \log 3 + 3 \log 2 \end{aligned}$$

$$小問 A3$$

極座標 $(r, \theta)$ を導入して、

$$\begin{aligned} x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta \ \ \ \ (r \geq 0, 0 \leq \theta \lt 2 \pi) \end{aligned}$$

と書く。 $x^2 + xy + y^2 = 3$ は、

$$\begin{aligned} r^2 + \frac{1}{2} r^2 \sin 2 \theta &= 3 \\ \therefore \ \ r^2 &= \frac{6}{\sin 2 \theta + 2} \end{aligned}$$

と書けるので、求める最短距離は $\sqrt{2}$ 、最長距離は $\sqrt{6}$ である。

$$B$$

$$C$$