早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2022年7月実施 数理基礎 問題A

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Author

Miyake, 思齐塾, 祭音Myyura

Description

日本語

小問A1・A2の日本語原文は未収録です。

小問A3

原点(origin)から楕円 (ellipse)

$$x^2 + xy + y^2 = 3$$

までの最短距離(shortest distance)と最長距離(longest distance)を求めよ。

题目描述

小问A1

设 $x>0$，对函数

$$f(x)=\left(\frac1{2x}\right)^x$$

求导。

小问A2

计算定积分

$$\int_2^3\frac{\log x}{(x-1)^2}\,dx.$$

小问A3

求原点到椭圆

$$x^2+xy+y^2=3$$

的最短距离和最长距离。

Kai

小問A1

$x \gt 0$ のとき $f(x) \gt 0$ であり、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} f(x) &= \left( \frac{1}{2x} \right)^x \\ \log f(x) &= - x \log 2x \\ \frac{f'(x)}{f(x)} &= - \log 2x - 1 \\ \therefore \ \ f'(x) &= - f(x) \left( \log 2x + 1 \right) \\ &= - \left( \frac{1}{2x} \right)^x \left( \log 2x + 1 \right) \end{aligned}$$

小問A2

$$\begin{aligned} \int_2^3 \frac{\log x}{(x-1)^2} dx &= \left[ - \frac{\log x}{x-1} \right]_2^3 + \int_2^3 \frac{1}{x(x-1)} dx \\ &= - \frac{\log 3}{2} + \log 2 + \int_2^3 \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right) dx \\ &= - \frac{\log 3}{2} + \log 2 + \left[ \log (x-1) - \log x \right]_2^3 \\ &= - \frac{3}{2} \log 3 + 3 \log 2 \end{aligned}$$

小問A3

極座標 $(r, \theta)$ を導入して、

$$\begin{aligned} x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta \ \ \ \ (r \geq 0, 0 \leq \theta \lt 2 \pi) \end{aligned}$$

と書く。 $x^2 + xy + y^2 = 3$ は、

$$\begin{aligned} r^2 + \frac{1}{2} r^2 \sin 2 \theta &= 3 \\ \therefore \ \ r^2 &= \frac{6}{\sin 2 \theta + 2} \end{aligned}$$

と書けるので、求める最短距離は $\sqrt{2}$ 、最長距離は $\sqrt{6}$ である。