早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2021年8月実施 概率统计

标签：

• Waseda-University
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

確率変数(random variable) $x$ の累積分布関数 $F(x)$ (cumulative distribution function) が次式であるとき, 確率密度関数 $f(x)$ (probability density function) を求めよ。

$$F(x) = 1 - \exp(-5x) \quad (x > 0)$$

题目描述

随机变量 $x$ 的累积分布函数在 $x>0$ 时为

$$F(x)=1-\exp(-5x).$$

求其概率密度函数 $f(x)$，并完整写出定义域各区间上的取值。

Kai

The probability density function $f(x)$ is the derivative of the cumulative distribution function $F(x)$ with respect to $x$ .

$$f(x) = \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} (1 - \exp(-5x))$$

$$f(x) = 0 - (\exp(-5x) \cdot (-5)) = 5\exp(-5x)$$

Since $x > 0$ , $f(x) = 5e^{-5x}$ for $x > 0$ and $f(x) = 0$ for $x \leq 0$ . Thus,

$$f(x) = \begin{cases} 5e^{-5x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$