早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2021年8月実施 线性代数

标签：

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• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Diagonalization

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

行列(matrix) $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ を対角化(diagonalization)する正則行列(non-singular matrix) $P$ を求めよ。

题目描述

求一个将矩阵

$$A=\begin{pmatrix} 2&3\\ 2&1 \end{pmatrix}$$

对角化的可逆矩阵 $P$。

Kai

特征多项式为:

$$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 3 \\ 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)(1 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1)$$

特征值为 $\lambda_1 = 4, \lambda_2 = -1$ .

当 $\lambda_1 = 4$ 时，解 $(A - 4I)x = 0$ :

$$\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$-2x_1 + 3x_2 = 0$ ，解得 $x = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ 为一个特征向量。

当 $\lambda_2 = -1$ 时，解 $(A + I)x = 0$ :

$$\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$x_1 + x_2 = 0$ ，解得 $x = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 为一个特征向量。

所以 $P = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ ，则 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$