早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2021年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

マクローリン展開 (Maclaurin series)

$$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$$

を用いて、次の極限 (limit) を求めよ。

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left\{\log_e(1 + \sin x) - x + \frac{x^2}{2}\right\}$$

题目描述

使用麦克劳林展开

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2 +\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots$$

求极限

$$\lim_{x\to0}\frac1{x^3} \left\{\log_e(1+\sin x)-x+\frac{x^2}{2}\right\}.$$

Kai

Let $f(x) = \log_e(1 + \sin x)$ . Using Maclaurin series expansion:

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$$

$$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$$

Therefore,

$$\log_e(1+\sin x) = \sin x - \frac{(\sin x)^2}{2} + \frac{(\sin x)^3}{3} - \dots$$

$$\log_e(1+\sin x) = (x - \frac{x^3}{6} + \dots) - \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6} + \dots)^2 + \frac{1}{3}(x - \frac{x^3}{6} + \dots)^3 - \dots$$

$$\log_e(1+\sin x) = x - \frac{x^3}{6} - \frac{1}{2}(x^2 - \frac{x^4}{3} + \dots) + \frac{1}{3}(x^3 - \dots) - \dots$$

$$\log_e(1+\sin x) = x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{3} + O(x^4) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$$

$$\log_e(1 + \sin x) - x + \frac{x^2}{2} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - x + \frac{x^2}{2} + O(x^4) = \frac{x^3}{6} + O(x^4)$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left\{\log_e(1 + \sin x) - x + \frac{x^2}{2}\right\} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left(\frac{x^3}{6} + O(x^4)\right) = \frac{1}{6}$$