早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2019年7月実施 数理基礎 E

标签：

• Waseda-University
• Exponential-Distribution
• Hypothesis-Testing

Author

祭音Myyura

Description

1. データ $1,2,2,2,3$ の不偏分散を求めよ。
2. 密度 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$（$x>0,\lambda>0$）に従う確率変数 $X$ の期待値を求めよ。
3. $V(X)=5$、$V(Y)=8$、$V(X+Y)=10$ のとき、$C(X,Y)$ を求めよ。
4. 統計的仮説検定における検出力を説明せよ。

题目描述

1. 对数据 $1,2,2,2,3$，求其无偏方差。

2. 随机变量 $X$ 的密度为

   $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\qquad(x>0,\ \lambda>0),$$

   求 $E[X]$。

3. 已知

   $$V(X)=5,\qquad V(Y)=8,\qquad V(X+Y)=10,$$

   求协方差 $C(X,Y)$。

4. 说明统计假设检验中“检验功效”的含义。

考点

• 指数分布：需要由给定密度在 $x>0$ 上积分，求出指数分布随机变量的期望。
• 假设检验：需要说明检验功效是在备择假设为真时正确拒绝原假设的概率，并阐明其与第二类错误概率的关系。

Kai

[小問 1]

標本平均は $\bar x=2$、偏差平方和は

$$(1-2)^2+3(2-2)^2+(3-2)^2=2$$

である。不偏分散は $n-1=4$ で割るので

$$\boxed{s^2=\frac24=\frac12}.$$

[小問 2]

部分積分により

$$\begin{aligned} E[X] &=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\ &=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-\lambda x}\,dx =\boxed{\frac1\lambda}. \end{aligned}$$

[小問 3]

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2C(X,Y)$$

より

$$10=5+8+2C(X,Y).$$

したがって

$$\boxed{C(X,Y)=-\frac32}.$$

[小問 4]

検出力は、対立仮説 $H_1$ が真であるときに帰無仮説 $H_0$ を正しく棄却する確率である。第2種の過誤確率を $\beta=P(H_0\text{ を棄却しない}\mid H_1\text{ が真})$ とすれば

$$\boxed{\text{検出力}=1-\beta}.$$

標本数、真の効果量、有意水準が大きいほど一般に検出力は高くなり、母分散が大きいほど低くなる。