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早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2019年7月実施 数理基礎 D

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Author​

祭音Myyura

Description​

  1. が線形独立で、 が線形従属なら、 は前 本の線形結合として一意に表せることを示せ。
  2. となる正方行列 の固有値を求めよ。
  3. に対し を求めよ。

Kai​

[小問 1]​

線形従属性から、すべては0でない係数 が存在して

となる。もし なら前 本の線形独立性に反するため、 である。よって

2通りの表示があると仮定して差を取れば、前 本の非自明な線形関係を得てしまう。したがって表示は一意である。

[小問 2]​

を固有値、 を対応する固有ベクトルとする。 を 回適用すると

なので 、したがって

である。ゆえにすべての固有値は である。

[小問 3]​

と分解する。 と は可換なので

よって

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