早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2019年7月実施 数理基礎 D

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• Waseda-University
• Linear-Independence
• Nilpotent-Matrix
• Matrix-Exponential

Author

祭音Myyura

Description

1. $\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_r$ が線形独立で、$\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_r,\boldsymbol a_{r+1}$ が線形従属なら、$\boldsymbol a_{r+1}$ は前 $r$ 本の線形結合として一意に表せることを示せ。
2. $A^n=0$ となる正方行列 $A$ の固有値を求めよ。
3. $A=\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}$ に対し $\exp A$ を求めよ。

题目描述

1. 已知 $\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_r$ 线性无关，而 $\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_r,\boldsymbol a_{r+1}$ 线性相关。证明 $\boldsymbol a_{r+1}$ 能且只能以一种方式表示成前 $r$ 个向量的线性组合。

2. 对满足 $A^n=0$ 的方阵 $A$，求其所有可能的特征值。

3. 对矩阵

   $$A=\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix},$$

   求矩阵指数 $\exp A$。

考点

• 线性无关：需要用前 $r$ 个向量的线性无关性同时证明线性表示的存在性和唯一性。
• 幂零矩阵：需要把 $A^n=0$ 作用到特征向量上，以限制 $A$ 的特征值。
• 矩阵指数：需要利用矩阵的标量部分与幂零部分计算给定 Jordan 型矩阵的指数。

Kai

[小問 1]

線形従属性から、すべては0でない係数 $c_1,\ldots,c_{r+1}$ が存在して

$$\sum_{i=1}^rc_i\boldsymbol a_i+c_{r+1}\boldsymbol a_{r+1}=\boldsymbol0$$

となる。もし $c_{r+1}=0$ なら前 $r$ 本の線形独立性に反するため、$c_{r+1}\neq0$ である。よって

$$\boldsymbol a_{r+1}=-\sum_{i=1}^r\frac{c_i}{c_{r+1}}\boldsymbol a_i.$$

2通りの表示があると仮定して差を取れば、前 $r$ 本の非自明な線形関係を得てしまう。したがって表示は一意である。

[小問 2]

$\lambda$ を固有値、$\boldsymbol v\neq\boldsymbol0$ を対応する固有ベクトルとする。$A\boldsymbol v=\lambda\boldsymbol v$ を $n$ 回適用すると

$$\boldsymbol0=A^n\boldsymbol v=\lambda^n\boldsymbol v.$$

$\boldsymbol v\neq\boldsymbol0$ なので $\lambda^n=0$、したがって

$$\boxed{\lambda=0}$$

である。ゆえにすべての固有値は $0$ である。

[小問 3]

$$A=aI+N,\qquad N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad N^2=0$$

と分解する。$aI$ と $N$ は可換なので

$$e^A=e^{aI}e^N=e^a(I+N).$$

よって

$$\boxed{ e^A=e^a\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^a&e^a\\0&e^a\end{pmatrix} }.$$