早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2019年7月実施数理基礎 D

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祭音Myyura

$\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_r$ が線形独立で、 $\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_r,\boldsymbol a_{r+1}$ が線形従属なら、 $\boldsymbol a_{r+1}$ は前 $r$ 本の線形結合として一意に表せることを示せ。
$A^n=0$ となる正方行列 $A$ の固有値を求めよ。
$A=\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}$ に対し $\exp A$ を求めよ。

線形従属性から、すべては0でない係数 $c_1,\ldots,c_{r+1}$ が存在して

\sum_{i=1}^rc_i\boldsymbol a_i+c_{r+1}\boldsymbol a_{r+1}=\boldsymbol0

となる。もし $c_{r+1}=0$ なら前 $r$ 本の線形独立性に反するため、 $c_{r+1}\neq0$ である。よって

\boldsymbol a_{r+1}=-\sum_{i=1}^r\frac{c_i}{c_{r+1}}\boldsymbol a_i.

2通りの表示があると仮定して差を取れば、前 $r$ 本の非自明な線形関係を得てしまう。したがって表示は一意である。

$\lambda$ を固有値、 $\boldsymbol v\neq\boldsymbol0$ を対応する固有ベクトルとする。 $A\boldsymbol v=\lambda\boldsymbol v$ を $n$ 回適用すると

\boldsymbol0=A^n\boldsymbol v=\lambda^n\boldsymbol v.

$\boldsymbol v\neq\boldsymbol0$ なので $\lambda^n=0$ 、したがって

\boxed{\lambda=0}

である。ゆえにすべての固有値は $0$ である。

A=aI+N,\qquad N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad N^2=0

と分解する。 $aI$ と $N$ は可換なので

e^A=e^{aI}e^N=e^a(I+N).

よって

\boxed{ e^A=e^a\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^a&e^a\\0&e^a\end{pmatrix} }.