早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2019年7月実施 数理基礎 C

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祭音Myyura

Description

1. 各成分が非負で、各行の和が1である行列を確率行列とする。 がともに 次確率行列なら も確率行列であることを示せ。

2. 次のベクトルが生成する部分空間の次元を求めよ。

3. 直線 に関する鏡映を表す行列を求めよ。

Kai

[小問 1]

、 とする。積の各成分は

なので非負である。また第 行の和は

したがって も確率行列である。

[小問 2]

零ベクトルは次元に寄与しない。また

なので3本の非零ベクトルは線形従属である。一方、 と は互いに定数倍でないため線形独立である。よって

[小問 3]

直線方向の単位ベクトルを

とする。鏡映は直線方向成分を保ち、直交成分の符号を反転するので

したがって