早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2019年7月実施 数理基礎 C

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Author

祭音Myyura

Description

1. 各成分が非負で、各行の和が1である行列を確率行列とする。$A,B$ がともに $n$ 次確率行列なら $AB$ も確率行列であることを示せ。

2. 次のベクトルが生成する部分空間の次元を求めよ。

   $$(1,1,1)^{\mathsf T},\quad(0,0,0)^{\mathsf T},\quad (1,-3,5)^{\mathsf T},\quad(1,5,-3)^{\mathsf T}$$

3. 直線 $y=mx$ に関する鏡映を表す行列を求めよ。

题目描述

1. 将各元素非负、每一行元素之和为 1 的矩阵定义为随机矩阵。若 $A,B$ 都是 $n$ 阶随机矩阵，证明 $AB$ 仍是随机矩阵。

2. 求下列向量所张成子空间的维数：

   $$(1,1,1)^{\mathsf T},\quad(0,0,0)^{\mathsf T},\quad (1,-3,5)^{\mathsf T},\quad(1,5,-3)^{\mathsf T}.$$

3. 求表示关于直线 $y=mx$ 的镜像反射这一线性变换的矩阵。

考点

• 随机矩阵：需要从乘积元素的非负性和各行和为 1 两方面证明随机矩阵对乘法封闭。
• 矩阵秩：需要分析给定四个向量的线性关系，以确定它们张成空间的维数。
• 线性变换：需要把关于斜率为 $m$ 的直线的平面反射写成标准基下的矩阵。

Kai

[小問 1]

$A=(a_{ik})$、$B=(b_{kj})$ とする。積の各成分は

$$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\geq0$$

なので非負である。また第 $i$ 行の和は

$$\begin{aligned} \sum_{j=1}^n(AB)_{ij} &=\sum_j\sum_ka_{ik}b_{kj} =\sum_ka_{ik}\left(\sum_jb_{kj}\right)\\ &=\sum_ka_{ik}=1. \end{aligned}$$

したがって $AB$ も確率行列である。

[小問 2]

零ベクトルは次元に寄与しない。また

$$(1,-3,5)^{\mathsf T}+(1,5,-3)^{\mathsf T} =2(1,1,1)^{\mathsf T}$$

なので3本の非零ベクトルは線形従属である。一方、$(1,1,1)^{\mathsf T}$ と $(1,-3,5)^{\mathsf T}$ は互いに定数倍でないため線形独立である。よって

$$\boxed{\dim V=2}.$$

[小問 3]

直線方向の単位ベクトルを

$$\boldsymbol u=\frac1{\sqrt{1+m^2}}\binom1m$$

とする。鏡映は直線方向成分を保ち、直交成分の符号を反転するので

$$R=2\boldsymbol u\boldsymbol u^{\mathsf T}-I.$$

したがって

$$\boxed{ R=\frac1{1+m^2} \begin{pmatrix} 1-m^2&2m\\ 2m&m^2-1 \end{pmatrix} }.$$