早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2019年7月実施数理基礎 B

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祭音Myyura

自然数 $m,n$ に対して $\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx$ を求めよ。
ガウス積分を用いて

$\int_0^\infty\exp\left(-\frac{(\log x)^2}{4}\right)dx$

を求めよ。
$D=\{(x,y)\mid(x-1/2)^2+y^2\leq1/4\}$ とする。 $\displaystyle\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy$ を求めよ。

指定された加法定理を $A+B$ と $A-B$ に適用して加えると、積和公式

2\cos(mx)\cos(nx)=\cos((m-n)x)+\cos((m+n)x)

を用いる。 $m\neq n$ なら両項の $0$ から $2\pi$ までの積分は0である。 $m=n$ なら

\int_0^{2\pi}\cos^2(mx)\,dx=\pi.

よって

\boxed{ \int_0^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx =\begin{cases} \pi,&m=n,\\ 0,&m\neq n. \end{cases}}

$t=\log x$ とおくと $x=e^t$ 、 $dx=e^t dt$ なので

\begin{aligned} I &=\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{t^2}{4}+t\right)dt\\ &=e\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(t-2)^2}{4}\right)dt. \end{aligned}

$u=(t-2)/2$ とおけば $dt=2du$ であるから

\boxed{I=2e\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du=2e\sqrt\pi}.

極座標を用いると領域条件は

(r\cos\theta-1/2)^2+r^2\sin^2\theta\leq1/4

すなわち $0\leq r\leq\cos\theta$ 、 $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$ となる。被積分関数は $r$ 、Jacobian も $r$ なので

\begin{aligned} \iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\cos\theta}r^2\,dr\,d\theta\\ &=\frac13\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^3\theta\,d\theta\\ &=\boxed{\frac49}. \end{aligned}