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早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2019年7月実施 数理基礎 B

Author

祭音Myyura

Description

  1. 自然数 m,nm,n に対して 02πcos(mx)cos(nx)dx\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx を求めよ。

  2. ガウス積分を用いて

    0exp((logx)24)dx\int_0^\infty\exp\left(-\frac{(\log x)^2}{4}\right)dx

    を求めよ。

  3. D={(x,y)(x1/2)2+y21/4}D=\{(x,y)\mid(x-1/2)^2+y^2\leq1/4\} とする。Dx2+y2dxdy\displaystyle\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy を求めよ。

题目描述

  1. 对自然数 m,nm,n,计算

    02πcos(mx)cos(nx)dx.\int_0^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx.
  2. 利用高斯积分计算反常积分

    0exp((logx)24)dx.\int_0^\infty\exp\left(-\frac{(\log x)^2}{4}\right)dx.
  3. D={(x,y)(x1/2)2+y21/4},D=\{(x,y)\mid(x-1/2)^2+y^2\leq1/4\},

    Dx2+y2dxdy.\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy.

考点

  • 定积分:需要利用三角函数的正交性,区分 m=nm=nmnm\ne n 两种情形计算积分。
  • 反常积分:需要通过变量代换和配方把无穷区间上的对数型积分化为高斯积分。
  • 二重积分:需要识别偏心圆盘 DD 的极坐标边界,并连同雅可比计算二重积分。

Kai

[小問 1]

積和公式

2cos(mx)cos(nx)=cos((mn)x)+cos((m+n)x)2\cos(mx)\cos(nx)=\cos((m-n)x)+\cos((m+n)x)

を用いる。mnm\neq n なら両項の 00 から 2π2\pi までの積分は0である。m=nm=n なら

02πcos2(mx)dx=π.\int_0^{2\pi}\cos^2(mx)\,dx=\pi.

よって

02πcos(mx)cos(nx)dx={π,m=n,0,mn.\boxed{ \int_0^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx =\begin{cases} \pi,&m=n,\\ 0,&m\neq n. \end{cases}}

[小問 2]

t=logxt=\log x とおくと x=etx=e^tdx=etdtdx=e^t dt なので

I=exp(t24+t)dt=eexp((t2)24)dt.\begin{aligned} I &=\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{t^2}{4}+t\right)dt\\ &=e\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(t-2)^2}{4}\right)dt. \end{aligned}

u=(t2)/2u=(t-2)/2 とおけば dt=2dudt=2du であるから

I=2eeu2du=2eπ.\boxed{I=2e\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du=2e\sqrt\pi}.

[小問 3]

極座標を用いると領域条件は

(rcosθ1/2)2+r2sin2θ1/4(r\cos\theta-1/2)^2+r^2\sin^2\theta\leq1/4

すなわち 0rcosθ0\leq r\leq\cos\thetaπ/2θπ/2-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2 となる。被積分関数は rr、Jacobian も rr なので

Dx2+y2dxdy=π/2π/20cosθr2drdθ=13π/2π/2cos3θdθ=49.\begin{aligned} \iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\cos\theta}r^2\,dr\,d\theta\\ &=\frac13\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^3\theta\,d\theta\\ &=\boxed{\frac49}. \end{aligned}