早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2019年7月実施 数理基礎 A

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• Differentiation
• Multivariable-Differentiation

Author

祭音Myyura

Description

1. $x\to\infty$ のとき $f(x)\to\infty$ かつ $f(x)/x\to0$ となる関数を3つ挙げよ。
2. $\displaystyle y=\frac{x+2}{(x+1)^2(x+3)^2}$ を微分せよ。
3. $z=3x^3+3y^3-9xy$ の極値をすべて求めよ。

题目描述

1. 举出三个函数 $f(x)$，使它们在 $x\to\infty$ 时同时满足

   $$f(x)\to\infty,\qquad \frac{f(x)}x\to0.$$

2. 对函数

   $$y=\frac{x+2}{(x+1)^2(x+3)^2}$$

   求导。

3. 求二元函数

   $$z=3x^3+3y^3-9xy$$

   的全部极值。

考点

• 极限：需要构造三个增长至无穷但相对于 $x$ 为低阶无穷大的函数。
• 函数求导：需要对含多个幂次因子的有理函数准确求导并化简。
• 多元函数微分：需要由一阶偏导寻找驻点，并据二阶偏导判定二元函数的极值性质。

Kai

[小問 1]

例えば

$$\boxed{f_1(x)=\sqrt{x},\qquad f_2(x)=\log x,\qquad f_3(x)=\frac{x}{\log x}}$$

が条件を満たす。いずれも $x\to\infty$ で無限大へ発散し、

$$\frac{f_1(x)}x=\frac1{\sqrt x}\to0,\qquad \frac{f_2(x)}x=\frac{\log x}{x}\to0,\qquad \frac{f_3(x)}x=\frac1{\log x}\to0$$

である。

[小問 2]

$u=x+2$ とおけば $(x+1)(x+3)=u^2-1$ なので

$$y=\frac{u}{(u^2-1)^2}.$$

したがって

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &=(u^2-1)^{-2}-4u^2(u^2-1)^{-3}\\ &=-\frac{3u^2+1}{(u^2-1)^3}. \end{aligned}$$

元へ戻すと

$$\boxed{ \frac{dy}{dx} =-\frac{3(x+2)^2+1}{(x+1)^3(x+3)^3} }.$$

[小問 3]

停留条件は

$$z_x=9x^2-9y=0,\qquad z_y=9y^2-9x=0.$$

したがって $y=x^2$、$x=y^2$ より、停留点は $(0,0)$ と $(1,1)$ である。Hessian は

$$H=\begin{pmatrix}18x&-9\\-9&18y\end{pmatrix}.$$

$(0,0)$ では $\det H=-81<0$ なので鞍点である。$(1,1)$ では

$$\det H=18^2-9^2=243>0,\qquad z_{xx}=18>0$$

なので極小点であり、

$$\boxed{z(1,1)=-3}$$

である。極大値は存在しない。