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早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2019年7月実施 計画数理学 問題10

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Author​

祭音Myyura

Description​

  1. AHP の基準 P、Q、R に対する一対比較行列

    A=(1xy1/x11/31/y31),x,y∈{1,3,5,7,9}A=\begin{pmatrix} 1&x&y\\ 1/x&1&1/3\\ 1/y&3&1 \end{pmatrix},\qquad x,y\in\{1,3,5,7,9\}

    を考える。

    1. 完全に整合する (x,y)(x,y) をすべて求め、ウェイト (wP,wQ,wR)(w_P,w_Q,w_R) を求めよ。
    2. 整合度が最も大きい、すなわち最も不整合な (x,y)(x,y) を理由とともに答えよ。

  2. バスの到着間隔が xx 分、yy 分、20−x−y20-x-y 分を周期的に繰り返す。時刻0にバスが到着したとして、0≤t≤600\leq t\leq60 の待ち時間 W(t)W(t) を示し、その時間平均を求めよ。さらに平均待ち時間を最小にする x,yx,y と最小値を求めよ。

题目描述​

  1. 在层次分析法（AHP）中，评价准则 P、Q、R 的成对比较矩阵为

    A=(1xy1/x11/31/y31),x,y∈{1,3,5,7,9}.A=\begin{pmatrix} 1&x&y\\ 1/x&1&1/3\\ 1/y&3&1 \end{pmatrix}, \qquad x,y\in\{1,3,5,7,9\}.
    1. 求使该矩阵完全一致的全部 (x,y)(x,y)，并分别求相应的权重 (wP,wQ,wR)(w_P,w_Q,w_R)。
    2. 求一致性指标最大、也就是最不一致的 (x,y)(x,y)，并说明理由。

  2. 公交车的到站间隔按 xx 分钟、yy 分钟、20−x−y20-x-y 分钟的顺序周期性重复，并且在时刻 0 有一班车到站。画出或表示 0≤t≤600\leq t\leq60 内的等待时间函数 W(t)W(t)，求其时间平均；再求使平均等待时间最小的 x,yx,y 以及该最小值。

考点​

  • 层次分析法：需要由准则间成对比较关系求完全一致情形下的权重向量。
  • 成对比较一致性：需要在离散候选集合中判断哪些 (x,y)(x,y) 完全一致，并比较其余矩阵的不一致程度。
  • 平均等待时间：需要根据三个周期性到站间隔建立锯齿形等待函数，计算时间平均并优化间隔配置。

Kai​

[小問 1-1]​

完全整合条件は

aPR=aPQaQRa_{PR}=a_{PQ}a_{QR}

なので

y=x⋅13=x3.y=x\cdot\frac13=\frac x3.

x,y∈{1,3,5,7,9}x,y\in\{1,3,5,7,9\} を満たす組は

(x,y)=(3,1), (9,3)\boxed{(x,y)=(3,1),\ (9,3)}

である。

(3,1)(3,1) では wP/wQ=3w_P/w_Q=3、wQ/wR=1/3w_Q/w_R=1/3 なので比は wP:wQ:wR=3:1:3w_P:w_Q:w_R=3:1:3、したがって

(wP,wQ,wR)=(37,17,37).\boxed{(w_P,w_Q,w_R)=\left(\frac37,\frac17,\frac37\right)}.

(9,3)(9,3) では比が 9:1:39:1:3 となるので

(wP,wQ,wR)=(913,113,313).\boxed{(w_P,w_Q,w_R)=\left(\frac9{13},\frac1{13},\frac3{13}\right)}.

[小問 1-2]​

3基準の循環的整合性は

ρ=aPQaQRaPR=x3y\rho=\frac{a_{PQ}a_{QR}}{a_{PR}}=\frac{x}{3y}

が1からどれだけ離れるかで決まる。候補中で最も大きい不整合倍率は

max⁡{ρ,1ρ}\max\left\{\rho,\frac1\rho\right\}

を最大にする x=1,y=9x=1,y=9 のときで、1/ρ=271/\rho=27 となる。したがって整合度が最も大きく、整合性が最も低い組は

(x,y)=(1,9).\boxed{(x,y)=(1,9)}.

[小問 2-1]​

バス到着時刻は各20分周期で

0, x, x+y, 20, 20+x, 20+x+y, 40,…,600,\ x,\ x+y,\ 20,\ 20+x,\ 20+x+y,\ 40,\ldots,60

となる。

u=t mod 20u=t\bmod20 とすると、バス到着時刻そのものを除いて

W(t)={x−u,0<u<x,x+y−u,x<u<x+y,20−u,x+y<u<20.W(t)= \begin{cases} x-u,&0<u<x,\\ x+y-u,&x

各到着時刻では W(t)=0W(t)=0 とする。グラフは各区間の長さを高さとして始まり、傾き −1-1 で0まで下がる3つの鋸歯を1周期とし、0≤t≤600\leq t\leq60 ではこれを3回繰り返す。

[小問 2-2]​

1周期のグラフの面積は3つの三角形の面積の和なので、時間平均は

Wˉ=x2+y2+(20−x−y)240.\boxed{ \bar W=\frac{x^2+y^2+(20-x-y)^2}{40} }.

[小問 2-3]​

3つの到着間隔の和は20である。平方和は3数が等しいときに最小となるため

x=y=20−x−y=203.x=y=20-x-y=\frac{20}{3}.

したがって

x=y=203 分\boxed{x=y=\frac{20}{3}\text{ 分}}

で、最小平均待ち時間は

Wˉmin⁡=3(20/3)240=103 分.\boxed{ \bar W_{\min} =\frac{3(20/3)^2}{40} =\frac{10}{3}\text{ 分} }.
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