早稲田大学創造理工学研究科経営システム工学専攻 2019年7月実施計画数理学問題10

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祭音Myyura

AHP の基準 P、Q、R に対する一対比較行列
$A=\begin{pmatrix} 1&x&y\\ 1/x&1&1/3\\ 1/y&3&1 \end{pmatrix},\qquad x,y\in\{1,3,5,7,9\}$
を考える。
1. 完全に整合する $(x,y)$ をすべて求め、ウェイト $(w_P,w_Q,w_R)$ を求めよ。
2. 整合度が最も大きい、すなわち最も不整合な $(x,y)$ を理由とともに答えよ。
バスの到着間隔が $x$ 分、 $y$ 分、 $20-x-y$ 分を周期的に繰り返す。時刻0にバスが到着したとして、 $0\leq t\leq60$ の待ち時間 $W(t)$ を示し、その時間平均を求めよ。さらに平均待ち時間を最小にする $x,y$ と最小値を求めよ。

完全整合条件は

a_{PR}=a_{PQ}a_{QR}

なので

y=x\cdot\frac13=\frac x3.

$x,y\in\{1,3,5,7,9\}$ を満たす組は

\boxed{(x,y)=(3,1),\ (9,3)}

である。

$(3,1)$ では $w_P/w_Q=3$ 、 $w_Q/w_R=1/3$ なので比は $w_P:w_Q:w_R=3:1:3$ 、したがって

\boxed{(w_P,w_Q,w_R)=\left(\frac37,\frac17,\frac37\right)}.

$(9,3)$ では比が $9:1:3$ となるので

\boxed{(w_P,w_Q,w_R)=\left(\frac9{13},\frac1{13},\frac3{13}\right)}.

3基準の循環的整合性は

\rho=\frac{a_{PQ}a_{QR}}{a_{PR}}=\frac{x}{3y}

が1からどれだけ離れるかで決まる。候補中で最も大きい不整合倍率は

\max\left\{\rho,\frac1\rho\right\}

を最大にする $x=1,y=9$ のときで、 $1/\rho=27$ となる。したがって整合度が最も大きく、整合性が最も低い組は

\boxed{(x,y)=(1,9)}.

バス到着時刻は各20分周期で

0,\ x,\ x+y,\ 20,\ 20+x,\ 20+x+y,\ 40,\ldots,60

となる。

$u=t\bmod20$ とすると、バス到着時刻そのものを除いて

W(t)= \begin{cases} x-u,&0<u<x,\\ x+y-u,&x

各到着時刻では $W(t)=0$ とする。グラフは各区間の長さを高さとして始まり、傾き $-1$ で0まで下がる3つの鋸歯を1周期とし、 $0\leq t\leq60$ ではこれを3回繰り返す。

1周期のグラフの面積は3つの三角形の面積の和なので、時間平均は

\boxed{ \bar W=\frac{x^2+y^2+(20-x-y)^2}{40} }.

3つの到着間隔の和は20である。平方和は3数が等しいときに最小となるため

x=y=20-x-y=\frac{20}{3}.

したがって

\boxed{x=y=\frac{20}{3}\text{ 分}}

で、最小平均待ち時間は

\boxed{ \bar W_{\min} =\frac{3(20/3)^2}{40} =\frac{10}{3}\text{ 分} }.