早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2019年7月実施 統計科学 問題7

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• Analysis-of-Variance
• Mahalanobis-Distance

Author

祭音Myyura

Description

1. 重積分を用いて $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}$ を示せ。
2. 同時密度 $f(x,y)=x+y$（$0<x<1,0<y<1$）に対し、$f_{X\mid Y}(x\mid y)$ と $E[X\mid Y=y]$ を求めよ。
3. 一元配置実験について平方和分解を証明し、データ A1: $1,3$、A2: $7,5$、A3: $3,5$ の分散分析表を作れ。
4. Mahalanobis 距離を説明せよ。

Kai

[小問 1]

積分を $I$ とおく。被積分関数が正なので

$$\begin{aligned} I^2 &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2/2}r\,dr\,d\theta\\ &=2\pi\left[-e^{-r^2/2}\right]_0^\infty=2\pi. \end{aligned}$$

したがって

$$\boxed{I=\sqrt{2\pi}}.$$

[小問 2]

$Y$ の周辺密度は

$$f_Y(y)=\int_0^1(x+y)dx=\frac12+y.$$

よって

$$\boxed{f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{x+y}{1/2+y}},qquad0<x<1.$$

条件付き期待値は

$$\begin{aligned} E[X\mid Y=y] &=\frac{\int_0^1x(x+y)dx}{1/2+y}\\ &=\frac{1/3+y/2}{1/2+y} =\boxed{\frac{2+3y}{3+6y}}. \end{aligned}$$

[小問 3-1]

$x_{ij}-\bar x=(x_{ij}-\bar x_{A_i})+(\bar x_{A_i}-\bar x)$ と分解して平方し、全 $i,j$ について和を取る。交差項は

$$2\sum_i(\bar x_{A_i}-\bar x) \sum_j(x_{ij}-\bar x_{A_i})=0$$

なので

$$\boxed{ \sum_i\sum_j(x_{ij}-\bar x)^2 =\sum_i\sum_j(x_{ij}-\bar x_{A_i})^2 +n\sum_i(\bar x_{A_i}-\bar x)^2 }.$$

[小問 3-2]

水準平均は $(2,6,4)$、総平均は4である。したがって

$$SS_A=2\{(2-4)^2+(6-4)^2+(4-4)^2\}=16,$$

各水準内の偏差平方和は2ずつなので $SS_E=6$、$SS_T=22$ である。

変動因	自由度	平方和	平均平方	$F$ 値
A	2	16	8	4
誤差	3	6	2
合計	5	22

[小問 4]

平均 $\boldsymbol\mu$、共分散行列 $\Sigma$ に対する点 $\boldsymbol x$ の Mahalanobis 距離は

$$\boxed{ d_M(\boldsymbol x,\boldsymbol\mu) =\sqrt{(\boldsymbol x-\boldsymbol\mu)^{\mathsf T} \Sigma^{-1}(\boldsymbol x-\boldsymbol\mu)} }.$$

各方向の分散で尺度を標準化し、変数間相関も考慮する。$\Sigma=I$ なら Euclid 距離に一致し、正則な線形変換に対して不変であるため、多変量外れ値検出や判別分析に用いられる。