早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2019年7月実施 情報数理応用 問題6

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• Curse-of-Dimensionality

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祭音Myyura

Description

1. ベルヌーイ情報源のパラメータ $\theta$ の事前分布が $\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$ である。長さ $n$ のデータで1が $y$ 回観測されたとき、事後密度、平均、最頻値を求めよ。
2. 定常無記憶情報源 $X$ の十分長い標準系列について、各系列の生起確率と本数をエントロピー $H(X)$ で示し、標準系列を説明せよ。
3. 独立な $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ に対し、$\sum_i\alpha_i=1$ を満たす推定量 $\bar X_\alpha=\sum_i\alpha_iX_i$ の分散を最小化する $\alpha_i$ を求めよ。
4. ランダムフォレストの概要と特徴を説明せよ。
5. 次元の呪いにより、特徴空間の次元が増えると生じる現象を説明せよ。

题目描述

1. 一个伯努利信息源的参数为 $\theta$，其先验分布为 $\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$。在长度为 $n$ 的观测数据中出现了 $y$ 次 1，求 $\theta$ 的后验概率密度、后验均值和后验众数。

2. 对平稳无记忆信息源 $X$，考虑足够长的典型序列。用熵 $H(X)$ 表示每条典型序列的发生概率以及典型序列的条数，并说明典型序列的含义。

3. 设 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ 相互独立。对满足 $\sum_i\alpha_i=1$ 的估计量

   $$\bar X_\alpha=\sum_i\alpha_iX_i,$$

   求使 $\operatorname{Var}(\bar X_\alpha)$ 最小的各个系数 $\alpha_i$。

4. 说明随机森林方法的基本做法及其特点。

5. 说明由于“维数灾难”，特征空间维数增加时会出现哪些现象。

考点

• 贝叶斯推断：需要把伯努利样本的似然与先验结合，得到参数 $\theta$ 的后验量。
• 贝塔–伯努利模型：需要利用贝塔先验与伯努利观测的共轭关系，写出后验密度并计算均值、众数。
• 典型序列：需要用信息源熵刻画长序列中高概率集合的单条概率、规模及其统计意义。
• 随机森林：需要说明随机抽样、随机选择特征和多棵决策树集成的机制及模型特性。
• 维数灾难：需要具体解释高维空间中样本稀疏、距离区分力下降以及样本需求急剧增长等问题。

Kai

[小問 1]

尤度は $\theta^y(1-\theta)^{n-y}$ に比例する。ベータ分布との共役性から

$$\theta\mid x^n\sim\operatorname{Beta}(\alpha+y,\beta+n-y).$$

したがって事後密度は

$$\boxed{ p(\theta\mid x^n)= \frac{\Gamma(\alpha+\beta+n)} {\Gamma(\alpha+y)\Gamma(\beta+n-y)} \theta^{\alpha+y-1}(1-\theta)^{\beta+n-y-1} }.$$

平均は

$$\boxed{E[\theta\mid x^n]=\frac{\alpha+y}{\alpha+\beta+n}}.$$

$\alpha+y>1$ かつ $\beta+n-y>1$ なら最頻値は

$$\boxed{ \theta_{\mathrm{mode}} =\frac{\alpha+y-1}{\alpha+\beta+n-2} }.$$

これらの条件を満たさない場合、最頻値は対応する端点となる。

[小問 2]

対数の底を2とする。十分大きい $n$ に対し、標準系列では各記号 $a_i$ の出現頻度が $p_i$ に近く、各系列の確率は

$$\boxed{P(x^n)\approx2^{-nH(X)}}$$

でほぼ等しい。標準系列全体の確率は1に近いため、その本数は

$$\boxed{|T_\varepsilon^{(n)}|\approx2^{nH(X)}}$$

となる。すなわち、全 $M^n$ 系列のうち比較的少数の標準系列が確率のほとんどを担い、1記号当たり約 $H(X)$ bit まで圧縮できる。

[小問 3]

独立性より

$$\operatorname{Var}(\bar X_\alpha)=\sigma^2\sum_{i=1}^n\alpha_i^2.$$

Cauchy--Schwarz の不等式から

$$1=\left(\sum_i\alpha_i\right)^2 \leq n\sum_i\alpha_i^2,$$

したがって $\sum_i\alpha_i^2\geq1/n$ である。等号は全係数が等しいときに限るため

$$\boxed{\alpha_1=\cdots=\alpha_n=\frac1n}.$$

このとき推定量は通常の標本平均で、最小分散は $\sigma^2/n$ である。

[小問 4]

ランダムフォレストは、訓練データのブートストラップ標本ごとに決定木を学習し、各分岐でも候補特徴量をランダムに制限して多数の木を作る。分類では多数決、回帰では平均により予測する。

木同士の相関を下げて平均化するため、単一の決定木より分散と過学習を抑えやすい。非線形関係・特徴間相互作用を扱え、尺度変換にも比較的頑健で、特徴量重要度も得られる。一方、モデルが大きくなり、単一木より解釈しにくく、非常に疎で高次元な問題では計算負荷が大きくなる。

[小問 5]

次元 $d$ が増えると、一定密度で空間を覆うために必要な標本数が指数的に増える。有限標本は空間内で疎になり、局所密度推定や近傍探索が不安定になる。また最近点と遠方点の距離が相対的に似通い、距離の識別力が低下する。不要な特徴が増えるほど推定分散と過学習の危険も増すため、次元削減・特徴選択・正則化が重要となる。