早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2018年7月実施 数理基礎 E

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Author

祭音Myyura

Description

1. $X\sim U(0,2)$ の分散を求めよ。
2. 部品重量 $X\sim N(300,\sigma^2)$ に対し、 $P(X\leq306.58)=0.95$ となる $\sigma$ を求めよ。標準正規分布の上側5％点を $1.645$ とする。
3. 独立な $X_1,\ldots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)$ に対し、 $S=\sum_i(X_i-\bar X)^2$ とする。 $S/\sigma^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従う。その下側2.5％点を $a$ 、上側2.5％点を $b$ として、 $\sigma^2$ の95％信頼区間を求めよ。
4. 4水準、各水準5反復の一元配置実験において、因子 A と誤差の自由度を求めよ。

题目描述

完成下列四小题。

1. 随机变量 $X\sim U(0,2)$，求其方差。

2. 零件重量 $X\sim N(300,\sigma^2)$，且

   $$P(X\leq306.58)=0.95.$$

   标准正态分布的上侧 $5\%$ 分位点取 $1.645$，求 $\sigma$。

3. 设 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立且均服从 $N(\mu,\sigma^2)$，令

   $$S=\sum_i(X_i-\bar X)^2.$$

   已知 $S/\sigma^2$ 服从自由度 $n-1$ 的卡方分布。记该分布的下侧 $2.5\%$ 分位点为 $a$、上侧 $2.5\%$ 分位点为 $b$，求 $\sigma^2$ 的 $95\%$ 置信区间。

4. 在一个单因素配置实验中，因子 A 有 $4$ 个水平，每个水平重复 $5$ 次。求因子 A 和误差各自的自由度。

Kai

[小問 1]

区間 $(l,u)$ 上の一様分布の分散は $(u-l)^2/12$ なので

$$\boxed{\operatorname{Var}(X)=\frac{(2-0)^2}{12}=\frac13}.$$

[小問 2]

標準化すると

$$P\left(Z\leq\frac{306.58-300}{\sigma}\right)=0.95.$$

したがって

$$\frac{6.58}{\sigma}=1.645$$

であり、

$$\boxed{\sigma=4}.$$

[小問 3]

$$P\left(a\leq\frac{S}{\sigma^2}\leq b\right)=0.95$$

を $\sigma^2$ について解けば

$$\boxed{ \frac{S}{b}\leq\sigma^2\leq\frac{S}{a} }.$$

したがって95％信頼区間は $[S/b,S/a]$ である。

[小問 4]

水準数を $k=4$ 、全観測数を $N=4\times5=20$ とすると

$$\boxed{\operatorname{df}(A)=k-1=3},\qquad \boxed{\operatorname{df}(E)=N-k=16}.$$